Место работы, должность: — МОУ «СОШ с.Березина Речка Саратовского района Саратовской области»

Регион: — Саратовская зона

Характеристика конспекта:
Уровни образования: — среднее (полное) общее сортообразование

Класс(ы): — 9 бизнескласс

Предмет(ы): — Алгебра
Предмет(ы): — Математика

Целевая аудитория: — Учитель (преподаватель)

Ресурс про профильной школы: — Ресурс про профильной школы

Тип ресурса: — элемент урока (занятия)

Краткое антропография ресурса: — Презентация к уроку по теме "Область определения и зона значений функции" по УМК Мордковича 9 бизнескласс

Файлы: презентация к урокуНахождение области олределения и области значений функции.ppt
Размер файла: 1618944 байт.

Место работы, должность: —

МБОУ СОШ №67, учитель математики

Регион: — Хабаровский край

Характеристика конспекта:
Уровни образования: — основное общее образование

Класс(ы): — 11 класс

Предмет(ы): — Алгебра

Целевая аудитория: — Учащийся (студент)
Целевая аудитория: — Учитель (преподаватель)

Тип ресурса: — дидактический материал

Краткое описание ресурса: —

Обобщение приёмов нахождения множеств значений различных функций.

Обобщение различных приёмов нахождения

множеств значений различных функций.

ЦОР, опубликован на сайте www.eorhelp.ru

ссылка на обзор материала: /node/248638

Пучкова Наталья Викторовна,

учитель математики МБОУ СОШ №6

Приём 1.

Нахождение множества значений функции по её графику.

Приём 2.

Нахождение множества значений функции с помощью производной.

Приём 3.

Последовательное нахождение множества значений функций, входящих в данную ком-

позицию функций ( приём пошагового нахождения множества значений функции).

Задание 1.

Найти множество значений функции y = 4 – sinx.

Решение.

Зная, что функция y = sinxпринимает все значения от -1 до 1 , то с помощью свойств

неравенств получаем, что -1sinx1

34 — sinx5.

Значит, функция y = 4 – sinx может принимать все значения не меньше 3 и не больше 5.

Множество значений Е(y) = [3;5].

Ответ: [3;5].

Приём 4.

Выражение xчерез y. Заменяем нахождение множества значений данной функции нахож-

дением области определения функции, обратной к данной.

Задание 2.

Найти множество значений функции .

Решение.

Выразим xчерез y : х2у + 3у = х2 + 2

х2(у – 1) = 2 – 3у.

1 случай: если у – 1 = 0, то уравнение х2 + 3 = х2 + 2 корней не имеет. Получили, что фун-

кция у не принимает значения, равного 1.

2 случай: если у -10, то . Так как , то . Решая это неравенст-

во методом интервалов, получим 0).

Так как функция непрерывна, то она может принимать все значения у. Множество

значений данной функции : Е(y) = [ — 1;).

Ответ : [ — 1;).

Приём 7.

Введение вспомогательного угла для нахождения множества значений некоторых триго-

нометрических функций.

Данный приём применяется для нахождения множества значений некоторых тригоно-

метрических функций. Например, вида y = a·sinx + b·cosx или y = a·sin(px) + b·cos(px),

если а0 и b0.

Задание 5.

Найти множество значений функции y = 15sin 2x + 20cos 2x.

Решение.

Найдём значение . Преобразуем выражение :

15sin 2x + 20cos 2x =25,

где.

Множество значений функции y = sin(2x + ) : -11.

Тогда множество значений функции y = 25sin(2x + ): Е(у) = [ - 25;25].

Ответ: [ - 25;25].

Задание 6.

Найти множество значений функций: а) ; б) у = sin5x – cos5x ;

в) ; г) у = 4х2 + 8х + 10 ; д) ; е).

Решение а).

а) выразим х через у:

6х + 7 = 3у – 10ху

х(6 + 10у) = 3у – 7.

Если 6 + 10у = 0, то у = — 0,6. Подставляя это значение у в последнее уравнение, получим :

0·х = — 8,8. Данное уравнение корней не имеет, значит функция не принимает значения

у = — 0,6.

Если 6 + 10у 0, то . Область определения этого уравнения : R, кроме y = — 0,6.

Получим: Е(у) =.

Ответ: .

Решение б).

б) найдём значение и преобразуем выражение : .

Учитывая множество значений функции , получим : Е(у) =. Функция не-

прерывна, таким образом она будет принимать все значения из этого промежутка.

Ответ: .

Решение в).

в) Учитывая, что , по свойствам неравенств получим :

. Таким образом, Е(у) = .

Ответ : .

Решение г).

г) можно использовать способ, предложенный в приёме 6, а можно выделить полный квадрат:

4х2 + 8х + 10 = ( 2х + 1)2 + 9.

Значения у = ( 2х + 1)2 принадлежат промежутку [0;+), тогда областью значений

у = ( 2х + 1)2 + 9 будет промежуток [9;). В силу непрерывности функция у = 4х2 + 8х + 10

принимает значения из промежутка [9;).

Ответ: [9;).

Решение д).

д) Е(х2) = [0;), значит Е( х2 + 3) = [3;). Так как обратная пропорциональность – непрерыв-

ная и убывающая функция на этом промежутке, то большему значению аргумента соответству-

ет меньшее значение функции. При стремлении аргумента этой функции к , значение са-

мой функции стремится к 0:

Е.

Ответ : .

Решение е).

е) Е(х2) = [0;+), следовательно Е( х2 + 3) = [3;). Так как функция непрерывна и

возрастает на этом промежутке, то Е() = [).

Ответ : [).

Задание 7.

Найдите наименьшее значение функции .

Решение.

Разность принимает наименьшее значение при наибольшем значении вычитаемого.

Дробь принимает наибольшее значение при наименьшем значении знаменателя.

Таким образом, данная функция принимает наименьшее значение принаименьшем зна-

чении выражения , находящегося в знаменателе дроби.

Е() = [0;+)

Е(1+) = [1;+)

Итак, наименьшее значение знаменателя 1, тогда функция принимает наименьшее зна-

чение равное — 1.

Ответ: — 1.

Задание 8.

Найти множество значений функции у = cosxна следующих промежутках :

а) [30º ; 45º], б) [ -45º ; 45º ], в) [ - 180º ; 45º ].

Решение:

а) так как в 1 четверти функция у = cosx непрерывна и убывает, значит, большему аргу-

менту соответствует меньшее значение функции, т.е. , если 30º45º , то функция

принимает все значения из промежутка .

Ответ : Е(у) = .

б) на промежутке [ -45º ; 45º ] функция у = cosx не является монотонной. Рассмотрим

два промежутка: [ -45º ; 0º ] и [ 0º ; 45º ]. На первом из этих промежутков функция

у = cosx непрерывна и возрастает, а на втором – непрерывна и убывает. Получаем, что

множество значений на первом промежутке , на втором .

Ответ: Е(у) = .

в) аналогичными рассуждениями можно воспользоваться и в этом случае. Хотя , сделаем

рациональнее : спроектируем дугу MPN на ось абсцисс.

В силу непрерывности функции получим, что множество значений функции у = cosx

при х[ - 180º ; 45º ] есть промежуток [ - 1;1 ].

Ответ : [ - 1;1 ].

Задания для самостоятельного решения.

Группа А.

Для каждого из заданий этой группы даны 4 варианта ответа. Выберите номер правильного ответа.

1. Найти множество значений функции .

1)[-2;2] 2)[-1;1] 3)() 4)(-2;2)

2. Найти множество значений функции .

1) 2) 3) 4)

3. Найти множество значений функции .

1) [-2;2] 2) 3) 4) [-1;1]

4. Найти множество значений функции .

1) [-1;1] 2) 3) 4) ()

5. Найти множество значений функции у = sinx на отрезке [30º ; 60º].

1) 2) 3) 4) [-1;1]

6. Найти множество значений функции у = sinx на отрезке [30º ; 150º].

1) 2) 3) 4) [-1;1]

7. Найти множество значений функции у = sinx на отрезке [30º ; 180º].

1) 2)[0;1] 3) [-1;1] 4)

8. Найти множество значений функции у = sinx на отрезке [30º ; 360º].

1) 2) 3) [-1;1] 4)

9. Множеством значений функции является промежуток :

1) [1;+) 2) [0;+) 3) [16;+) 4) [8;+)

10. Укажите в какой области функция принимает значения .

1) 2)[-3;2) 3) 4)

11. При каких значениях х функция у = — х2 – 4х + 5 принимает положительные значения ?

1) 2)[0;9] 3)( — 5;1) 4)(0;1)

12. Укажите функцию, убывающую на всей области определения.

1) 2) 3) 4) y = x – 1.

13. Укажите область определения функции .

1) 2)(0;1) 3) 4)

Группа В.

Ответом в заданиях этой группы может быть целое число или число, записанное в виде десятич-

ной дроби.

14. Найти наибольшее целое значение функции у = 3х2 – х + 5 на отрезке [ 1; 2 ].

15. Найти наибольшее целое значение функции у = — 4х2 + 5х – 8 на отрезке [ 2; 3 ].

16. Найти наибольшее целое значение функции у = — х2 + 6х – 1 на отрезке [ 0; 4 ].

17. Укажите наименьшее целое число , входящее в область определения функции

.

18. Укажите, сколько целых чисел содержит область определения функции .

19. Найти длину промежутка, являющегося областью определения функции .

20. Найти наибольшее значение функции .

21. Найти наибольшее значение функции .

22. Найти наибольшее значение функции .

23. Найти наименьшее значение функции .

24. Найти наибольшее значение функции .

25. Сколько целых чисел содержит множество значений функции у = sin2x + sinx ?

26. Найти наименьшее значение функции .

27. Сколько целых чисел содержит множество значений функции ?

28. Найти наибольшее значение функции на промежутке .

29. Найти наибольшее значение функции на промежутке .

30. Какого значения функция не достигает ни при каком значении х ?

31. Найти наибольшее целое значение функции .

32. Найти наименьшее целое значение функции .

33. Найти наибольшее значение функции .

34. Найти наименьшее значение функции .

Группа С.

Решите следующие задания с полным обоснованием решения.

35. Найти множество значений функции .

36. Найти множество значений функции .

37. Найти множество значений функции .

38. Найти множество значений функции .

39. При каких значениях функция у = х2 + (– 2)х + 0,25 не принимает отрицательных зна-

чений ?

40. При каких значениях функция у = ·cosx + sinx — ·sinx будет чётной ?

41. При каких значениях функция у =·cosx + sinx — ·sinx будет нечётной ?

Файлы: Урок.doc
Размер файла: 26624 байт.