Автор конспекта:
Автор(ы): — Чернявская Елена Александровна

Место работы, должность: —

Муниципальное общеобразовательное учреждение средняя общеобразовательная школа № 4 города Рассказово Тамбовской области, учитель математики

Регион: — Тамбовская область

Характеристика конспекта:
Уровни образования: — основное общее образование

Класс(ы): — 8 класс

Предмет(ы): — Алгебра

Целевая аудитория: — Учащийся (студент)
Целевая аудитория: — Учитель (преподаватель)

Тип ресурса: — дидактический материал

Краткое описание ресурса: —

Квадратные уравнения — это фундамент, на котром покоится величественное здание алгебры. Квадратные уравнения находят широкое применение при решении тригонометрических, показательных, логарифмических, иррациональных уравненний, неравенств и их систем. В школьном курсе математики изучаются формулы корней квадратных уравнений, с помощью которых можно решать любые квадратные уравнения. Однако, имеются и другие способы решения, которые позволяют очень быстро и рационально находить корни уравнений или доказывать, что их нет. Конечно же, на своих уроках учитель должен познакомить учащихся с этими способами, тем самым облегчая прохождение многих тем курса математики. Данный дидактический материал целесообразно использовать на заключительных уроках при рассмотрении различных способов решения квадратных уравнений с целью отработки навыков решения; выработки умения определять вид квадратного уравнения; находить рациональное решение; работать с алгоритмом решения различных видов квадратных уравнений и многое другое.

Дидактический материал по теме

«СПОСОБЫ РЕШЕНИЯ КВАДРАТНЫХ УРАВНЕНИЙ»

Лист 1

Представляет собой таблицу из 100 квадратных уравнений следующих десяти видов:

- неполные квадратные уравнения

1 ) а х2 + в х = 0

2 ) а х2 + с = 0

3 ) а х2 + с = 0

- полные квадратные уравнения , в которых

4 ) а + в + с = 0

5 ) а – в + с = 0

6 ) левая часть уравнения представима в виде квадрата двучлена.

7 ) приведённое квадратное уравнение

8 ) в = 2k , в = чётное

9 ) в = 2k – 1 , в = нечётное

10 ) Д < 0

Помимо перечисленных уравнений в таблице имеются уравнения, в которых :

а ) переменная обозначена латинской буквой , отличной от Х ;

б ) записанные не в стандартном виде ;

в ) уравнения, которые можно упростить, разделив левую и правую части на число, отличное от нуля.

Лист 2

Представляет собой алгоритм решения квадратного уравнения , с учётом тех же десяти видов квадратных уравнений , что и на первом листе. Он предназначен для работы со средними и сильными учащимися.

I . Опр. Квадратным уравнением , или уравнением 2й степени , называется уравнение , содержащее переменную Х в 1й и 2 й степени или только во 2й степени.

II.Если переменная Х содержится в уравнении только во 2й степени, то это уравнение – неполное квадратное.

III. Если переменная Х содержится в уравнении и 1й и 2й степени , то это уравнение – полное квадратное.

IV. Если коэффициент при квадрате переменной равен 1, то это уравнение называют приведённым .

Решение квадратных уравнений

ах2 = 0 , ах2 + вх = 0 , ах2 + с = 0

а , в, с €R , а = 0

Неполные квадратные уравнения

1. ах2 + вх = 0

х ( ах + в ) = 0

х = 0 или ах + в = 0

ах = — в

х = - в/а

2. ах2 + с = 0

ах2 = — с

х2 = -с/а

х 1,2 = = квадратный корень из выражения - с/а

3. Данное уравнение можно решить другим способом. Если левую часть удобно представить в виде разности квадратов двух выражений , то её раскладывают на множители 1й степени с помощью формулы сокращённого умножения а2 – в2 = ( а – в ) ( а + в )

ах2 + вх + с = 0 х2 + рх + q = 0

а , в, с, р, q - любые действительные числа , отличные от 0

Полные квадратные уравнения

Некоторые свойства коэффициентов квадратного уравнения.

4. Если а + в + с = 0 , то х1= 1 , х2= с/а

5. Если а – в + с = 0 , то х1=- 1 , х2= — с/а

6. Если левая часть полного квадратного уравнения представима в виде квадрата двучлена , то его рациональнее решить, применяя формулы сокращённого умножения :

а2 - 2ав + в2 = ( а – в ) 2 квадрат разности двух выражений

а2 +2ав + в2 = ( а + в ) 2 квадрат суммы двух выражений

Зависимость между коэффициентами и корнями приведённого квадратного уравнения.

7. Для квадратного уравнения х2 + рх + q =0 , где р , q с R

х1 + х2 = — р

х1 х х2 = q

справедлива теорема Виeта

8. Уравнение вида ах2 + вх + с = 0, где а,в,с с R, а = 0 с чётным коэффициентом в решается по формуле Д1 =( в2)2 – ас

9. При решении уравнения вида ах2 + вх + с = 0 с нечётным вторым коэффициентом находят

Д = в2 – 4 ас.

10.Величина Д = в2 – 4 ас , играющая решающую роль при вопросе о корнях квадратного уравнения, называется дискриминантом квадратного уравнения .

Если Д > 0 , то квадратное уравнение имеет два вещественных , различных корня .

Если Д = 0 , то получается одно решение . В этом случае говорят , что корень двукратный или что корни равны.

Если Д< 0 , то вещественных решений не существует. (это случай комплексных корней или мнимых корней ).

Лист 3.

Представляет собой алгоритм решения квадратного уравнения на конкретном примере уравнения с полным его решением к каждому из десяти представленных видов. Этот лист предназначен для работы со слабыми учащимися.

1. ах2 + вх = 0 Выносим Х за скобки.

х ( ах + в ) = 0

х = 0 или ах + в = 0

ах = — в

х = -в/а

пример: 2х2 – 7х = 0

х ( 2х – 7 ) = 0

х = 0 или 2х – 7 = 0

2х =7

х = 7 : 2

х =3,5

Ответ: 0 ; 3,5

2. ах2 + с = 0

ах2 = — с

х2 = — с/а

пример: 6х2 +18 = 0 6х2 -18 = 0

6х2 = -18 6х2 = 18

х2 = -3 х2 = 3

корней нет два действительных корня

3. ах2 + с = 0 Иногда данное неполное квадратное уравнение удобно решить, представив левую часть в виде разности квадратов двух выражений и применяя формулу С У.

ПРИМЕР:

9х2 – 4 = 0

( 3х – 2 )( 3х + 2 ) = 0

3х – 2 = 0 или 3х + 2 = 0

3х =2 3х =-2

х = 2/3 х = -2/3

ОТВЕТ: - 2/3 ; 2/3.

4. ах2 + вх + с = 0. Полное квадратное уравнение можно решить

Если а + в + с =0, то быстро и правильно , зная свойства коэффициентов

х1 = 1 , х2 =с/а квадратного уравнения.

ПРИМЕР: 15х2 – 19х + 4 = 0

так как 15 – 19 + 4 = 0 ,

то х1 = 1 , х2 =4/15

ОТВЕТ: 1 ; 4/15 .

5. ах2 + вх + с = 0.

Если а — в + с =0, ( или а + с = в )

то х1 =- 1 , х2 =-с/а

ПРИМЕР: 11х2 + 27х + 16 = 0

так как 11 – 27 + 16 = 0

то х1 = — 1 , х2 =- 15/11

ОТВЕТ: -1 ; -15/11 .

6. ах2 + вх + с = 0. Иногда легко заметить , что левая часть уравнения

представляет собой квадрат разности или квадрат суммы

ПРИМЕР: 4х2 — 12х + 9 = 0 двух выражений. Такое уравнение решают, представив

( 2х – 3 )2 = 0 левую часть в виде квадрата двучлена. В таких случаях,

2х – 3 = 0 когда квадратное уравнение будет удовлетворяться

2х = 3 только одним значением неизвестного , мы будем х = 1,5 говорить ,что оно допускает два равных корня.

ОТВЕТ: 1,5

х2 + 24х + 144 = 0

( х + 12 )2 = 0

х + 12 = 0

х = — 12

ОТВЕТ: — 12.

7. х2 + рх + q = 0, Рассмотрим приведённое квадратное уравнение, где р и q – любые числа отличные от нуля. Корни данного уравнения удовлетворяют

теореме Виета, которая имеет вид х1 х х2 = q , х1 + х2 = — р.

Если свободный член q приведённого квадратного уравнения положителен ( q > 0 ), то уравнение имеет два одинаковых по знаку корня и это зависит от второго коэффициента р. Если р > 0 , то оба корня отрицательны , если р 0 — отрицателен.

х2 – 2х — 15 = 0 х2 + 2х — 8 = 0

х1 х х2 = -15 тогда х1 х х2 = — 8 тогда

х1 + х2 = 2 х1 + х2 = -2

х1= 5 , х2 =-3 х1=-4 , х2 =2

ОТВЕТ : 5 ; -3 . ОТВЕТ : - 4 ; 2.

9. ах2 + вх + с = 0. Формула корней квадратного уравнения

2х2 – 5х + 2 = 0 позволяет решить любое квадратное уравнение.

а = 2 , в = -5 , с = 2 Выражение в2 – 4ас называют дискриминантом квадратногоуравнения.

Д = 25 — 4 х 2 х 2 Д = в2 -4 ас, х1,2 = -в +(-) квадратный корень из Д / 2а

Д = 9

х1= 2 х2= 0,5

ОТВЕТ: х1= 2 , х2= 0,5.

10. Применяя формулу корней квадратного уравнения , можно получить Д < 0 ( Д