Автор конспекта:
Автор(ы): — Мухаметзянова Гульсина Равильевна

Место работы, должность: —

МБОУ " Средняя общеобразовательная школа №101", г. Казань

Регион: — Республика Татарстан

Характеристика конспекта:
Уровни образования: — среднее (полное) общее образование

Класс(ы): — 10 класс
Класс(ы): — 11 класс

Предмет(ы): — Алгебра

Целевая аудитория: — Учащийся (студент)
Целевая аудитория: — Учитель (преподаватель)

Тип ресурса: — методическая разработка

Краткое описание ресурса: —

Вработе разобраны решения задач на применение свойств простых чисел.

Некоторые способы решения заданий С 6 ( ЕГЭ ).

Для решения данных заданий необходимо знать свойства простых чисел:

1. Соседние натуральные числа взаимно простые.

2. Соседние нечетные числа взаимно простые.

3. Соседние нечетные числа, отличающиеся на степень 2, являются взаимно простыми.

4. Если αи bвзаимно простые числа, то α+b и α·b тоже взаимно простые числа.

Задача1. Найти все натуральные числа, которые нельзя представить в виде суммы взаимно простых чисел, отличных от единицы.

Решение.

1= 1 + 0 – нельзя представить,

2= 1+ 1 — нельзя представить,

3= 2 + 1 — нельзя представить,

4= 2 + 2 = 3 + 1 — нельзя представить,

5= 2 + 3 – можно представить,

6= 3 + 3 = 2+4= 1+5+4 — нельзя представить,

7= 3 + 4 — можно представит,

8= 3 + 5 — можно представить,

9= 4 + 5 — можно представить,

10 = 3 + 7 — можно представить,

1 наблюдение: нечетные числа, начиная с 5, можно представить в виде суммы двух взаимно простых чисел, отличных от единицы.

2n+1 = n+ ( n+1) – по первому свойству взаимно простых чисел.

Значит, убираем все нечетные числа,

2 наблюдение: четные числа, начиная с 8.

Возьмем числа, кратные 4: 4n= ( 2n– 1) + ( 2n+ 1) – сумма соседних нечетных чисел.

3 наблюдение: числа вида 4n+ 2 ( 10, 14, ….)

4n+ 2 = ( 2n– 1) + ( 2n+ 3) — нечетные числа, различающиеся

на степень числа 2. ( свойство 3).

Ответ: 1,2,3,4,6.

Задача2 :Найдите все такие пары взаимно простых натуральных чисел aи b, что если к десятичной записи числа a приписать справа через запятую десятичную записьчисла b, то получится запись числа, равного .

Решение.

а – десятичная запись числа a,

b – десятичная запись числа b.

Пусть в числе b n знаков, тогда получившиеся число запишется в виде a + 0,1nb.

По условию a + 0,1nb = .

a + 0,1nb = / 10na0.

10na2 + ab = 10nb.

10n( b– a2) = ab.

10n- составное число. Т.к. aи b– взаимно простые числа, тоb– a2и ab– взаимно простые числа. Значит, .

Если n=1, то a=2, b=5.

Проверка: 2,5 = — верно.

= 1 / :;

= 1+ — это уравнение имеет не более одного корня, т.к. у- возрастающая функция, а у = 1+ — убывающая функция. Следовательно, при n=1, a=2,b=5.

Рассмотрим ещё случай когда a=10 и b=1; или a=1 и b=10. НО тогда не выполняется 2 уравнение системы.

Ответ: a=2,b=5.

Задача3: Болтики можно разложить в пакетики, а пакетики упаковать в коробки, по 2 пакетика в одну коробку. Можно эти болтики разложить в пакетики так, что в каждом пакетике будет на 5 болтиков меньше, чем раньше, но тогда в каждой коробке будет лежать по 3 пакетика, а коробок потребуется на 2 меньше. Какое наименьшее количество болтиков может быть при таких условиях?

Решение.

1 случай: пусть к – количество коробок; b– количество болтиков.

В к коробках по 2 пакетика, в каждом пакетике по b болтика. Всего 2к b болтика.

2 случай: ( к – 2) коробки по 3 пакетика , в каждом пакетике (b – 5) болтиков. Всего: 3(к-2)( b-5) болтиков.

2к b = 3(к-2)( b-5)

2к b = 3( кb -5к -2b +10)

…..

b= = 15 +

b и кN: 60 : ( к – 6)

Делители 60: 1 к=7, b=75, 2к b=1050

2 к=8, b=45, 2к b=720

……

к=9, b=35, 2к b=630 и т.д. Среди полученных результатов выбираем наименьший: 594.

Ответ: 594.

Задача4: Ученик должен был перемножить два трехзначных числа и разделить их произведение на пятизначное. Однако он не заметил знака умножения и принял два записанных рядом трехзначных числа за одно шестизначное. Поэтому полученное частное оказалось в 3 раза больше истинного. Найдите все три числа.

Решение.

аи b – трехзначные числа, с – пятизначное число. Ученик должен был получить число: . Но получил: . По условию задачи: = 3| · c;

1000а + b = 3аb; 1000 + = 3b . Значит, 1000 + : 3. — целое, однозначное число.

а и b – трехзначные числа.

По признаку делимости на 3, находим, что =2 или =5 или =8

Находим, что b=334, а=167

или b=335, а= 67 – не удовлетворяют условию задачи

или b= 336, а=47– не удовлетворяют условию задачи

а·b = 334·167 = 55778 – удовлетворяет условию задачи.

В остальных случаях пятизначные числа не получаются.

Ответ: 334; 167; 55778.

Методическое объединение учителей естественно-математического цикла.

МОУ « СОШ№101»

« Некоторые способы решения задачи С6 ( ЕГЭ)»

Учитель математики: Мухаметзянова Г.Р.

Декабрь 2011 г.

Файлы: МАТЕМАТИК-БИЗНЕСМЕН внекл.8 класс 1.ppt
Размер файла: 172032 байт.

( план – конспект урока 1 класс 5 класс. 6 класс 7 класс 8 класс 9 класс 10 класс Английский язык Литературное чтение Математика Музыка ОБЖ Окружающий мир Оренбургская область Физика ЦОР алгебра биология викторина внеклассное мероприятие география геометрия здоровье игра информатика история классный час конкурс конспект урока краеведение кроссворд литература начальная школа обществознание презентация программа проект рабочая программа русский язык тест технология урок химия экология