Автор конспекта:
Автор(ы): — Мухаметзянова Гульсина Равильевна
Место работы, должность: —
МБОУ " Средняя общеобразовательная школа №101", г. Казань
Регион: — Республика Татарстан
Характеристика конспекта:
Уровни образования: — среднее (полное) общее образование
Класс(ы): — 10 класс
Класс(ы): — 11 класс
Предмет(ы): — Алгебра
Целевая аудитория: — Учащийся (студент)
Целевая аудитория: — Учитель (преподаватель)
Тип ресурса: — методическая разработка
Краткое описание ресурса: —
Вработе разобраны решения задач на применение свойств простых чисел.
Некоторые способы решения заданий С 6 ( ЕГЭ ).
Для решения данных заданий необходимо знать свойства простых чисел:
1. Соседние натуральные числа взаимно простые.
2. Соседние нечетные числа взаимно простые.
3. Соседние нечетные числа, отличающиеся на степень 2, являются взаимно простыми.
4. Если αи bвзаимно простые числа, то α+b и α·b тоже взаимно простые числа.
Задача1. Найти все натуральные числа, которые нельзя представить в виде суммы взаимно простых чисел, отличных от единицы.
Решение.
1= 1 + 0 – нельзя представить,
2= 1+ 1 — нельзя представить,
3= 2 + 1 — нельзя представить,
4= 2 + 2 = 3 + 1 — нельзя представить,
5= 2 + 3 – можно представить,
6= 3 + 3 = 2+4= 1+5+4 — нельзя представить,
7= 3 + 4 — можно представит,
8= 3 + 5 — можно представить,
9= 4 + 5 — можно представить,
10 = 3 + 7 — можно представить,
1 наблюдение: нечетные числа, начиная с 5, можно представить в виде суммы двух взаимно простых чисел, отличных от единицы.
2n+1 = n+ ( n+1) – по первому свойству взаимно простых чисел.
Значит, убираем все нечетные числа,
2 наблюдение: четные числа, начиная с 8.
Возьмем числа, кратные 4: 4n= ( 2n– 1) + ( 2n+ 1) – сумма соседних нечетных чисел.
3 наблюдение: числа вида 4n+ 2 ( 10, 14, ….)
4n+ 2 = ( 2n– 1) + ( 2n+ 3) — нечетные числа, различающиеся
на степень числа 2. ( свойство 3).
Ответ: 1,2,3,4,6.
Задача2 :Найдите все такие пары взаимно простых натуральных чисел aи b, что если к десятичной записи числа a приписать справа через запятую десятичную записьчисла b, то получится запись числа, равного .
Решение.
а – десятичная запись числа a,
b – десятичная запись числа b.
Пусть в числе b n знаков, тогда получившиеся число запишется в виде a + 0,1nb.
По условию a + 0,1nb = .
a + 0,1nb = / 10na0.
10na2 + ab = 10nb.
10n( b– a2) = ab.
10n- составное число. Т.к. aи b– взаимно простые числа, тоb– a2и ab– взаимно простые числа. Значит, .
Если n=1, то a=2, b=5.
Проверка: 2,5 = — верно.
= 1 / :;
= 1+ — это уравнение имеет не более одного корня, т.к. у- возрастающая функция, а у = 1+ — убывающая функция. Следовательно, при n=1, a=2,b=5.
Рассмотрим ещё случай когда a=10 и b=1; или a=1 и b=10. НО тогда не выполняется 2 уравнение системы.
Ответ: a=2,b=5.
Задача3: Болтики можно разложить в пакетики, а пакетики упаковать в коробки, по 2 пакетика в одну коробку. Можно эти болтики разложить в пакетики так, что в каждом пакетике будет на 5 болтиков меньше, чем раньше, но тогда в каждой коробке будет лежать по 3 пакетика, а коробок потребуется на 2 меньше. Какое наименьшее количество болтиков может быть при таких условиях?
Решение.
1 случай: пусть к – количество коробок; b– количество болтиков.
В к коробках по 2 пакетика, в каждом пакетике по b болтика. Всего 2к b болтика.
2 случай: ( к – 2) коробки по 3 пакетика , в каждом пакетике (b – 5) болтиков. Всего: 3(к-2)( b-5) болтиков.
2к b = 3(к-2)( b-5)
2к b = 3( кb -5к -2b +10)
…..
b= = 15 +
b и кN: 60 : ( к – 6)
Делители 60: 1 к=7, b=75, 2к b=1050
2 к=8, b=45, 2к b=720
……
к=9, b=35, 2к b=630 и т.д. Среди полученных результатов выбираем наименьший: 594.
Ответ: 594.
Задача4: Ученик должен был перемножить два трехзначных числа и разделить их произведение на пятизначное. Однако он не заметил знака умножения и принял два записанных рядом трехзначных числа за одно шестизначное. Поэтому полученное частное оказалось в 3 раза больше истинного. Найдите все три числа.
Решение.
аи b – трехзначные числа, с – пятизначное число. Ученик должен был получить число: . Но получил: . По условию задачи: = 3| · c;
1000а + b = 3аb; 1000 + = 3b . Значит, 1000 + : 3. — целое, однозначное число.
а и b – трехзначные числа.
По признаку делимости на 3, находим, что =2 или =5 или =8
Находим, что b=334, а=167
или b=335, а= 67 – не удовлетворяют условию задачи
или b= 336, а=47– не удовлетворяют условию задачи
а·b = 334·167 = 55778 – удовлетворяет условию задачи.
В остальных случаях пятизначные числа не получаются.
Ответ: 334; 167; 55778.
Методическое объединение учителей естественно-математического цикла.
МОУ « СОШ№101»
« Некоторые способы решения задачи С6 ( ЕГЭ)»
Учитель математики: Мухаметзянова Г.Р.
Декабрь 2011 г.
Файлы: МАТЕМАТИК-БИЗНЕСМЕН внекл.8 класс 1.ppt
Размер файла: 172032 байт.