Автор конспекта:
Автор(ы): — Шагалова Т.И., Смелова Г.

Место работы, должность: —

МОУ СОШ №2 г.Пугачева Саратовской области

учитель математики

Регион: — Саратовская область

Характеристика конспекта:
Уровни образования: — основное общее образование
Уровни образования: — среднее (полное) общее образование

Класс(ы): — 9 класс

Предмет(ы): — Математика

Целевая аудитория: — Учащийся (студент)
Целевая аудитория: — Учитель (преподаватель)

Тип ресурса: — проект

Краткое описание ресурса: —

Геометрическое доказательство теоремы Пифагора.

Применение теоремы Пифагора для подобных фигур, построенных на сторонах прямоугольного треугольника

Применение теоремы Пифагора для подобных фигур, построенных на сторонах прямоугольного треугольника.

Цель проекта:

Исследовать обобщение теоремы Пифагора для

прямоугольного треугольника.

Задачи :

• найти и изучить по разным источникам информацию о теореме Пифагора и её обобщениях;
• провести исследования;
• обобщить полученные результаты;
• применить полученные результаты при решении задач;
• сделать вывод.

Содержание проекта:

Введение. Стр 4

• Основная часть. Стр 5

Обобщая теорему Пифагора

• Часть. Стр 14

Практическое решение задач.

Заключение Стр 17

Список литературы Стр 18

Введение

Пифагор Самосский (580-500 г. до н.э.) – великий греческий ученый. Его имя знакомо каждому школьнику. Если вас попросят назвать одного древнего математика, то абсолютное большинство назовут Пифагора. Его известность связана с названием теоремы Пифагора. Хотя сейчас уже мы знаем, что эта теорема была известна в Древнем Вавилоне за 1200 лет до Пифагора, а в Египте за 2000 лет до него был известен прямоугольный треугольник со сторонами 3, 4, 5.Заслуга Пифагора в том , что он впервые доказал эту теорему.

Теорема Пифагора лежит в основе большинства геометрических вычислений. Еще в Древнем Вавилоне с ее помощью вычисляли длину высоты равнобедренного треугольника по длинам оснований и боковой стороны, стрелку сегмента по диаметру окружности и длине хорды, устанавливали соотношения между элементами некоторых правильных многоугольников. На основе теоремы Пифагора выводится и формула, выражающая площадь любого треугольника через длину его сторон. Разумеется, теорема Пифагора применяли и для Решения разнообразных практических задач.

Пифагор одним из первых стал рассматривать геометрию не как практическую, а как логическую науку, на его труды опирался в дальнейшем в своей работе Евклид и другие математики, ему приписывают построение пяти правильных многогранников: тетраэдра, куба, октаэдра, додекаэдра, икосаэдра. Пифагор со своими учениками внес большой вклад в развитие математики.

Теорема Пифагора – важнейшее утверждение в геометрии. Теорема формулируется так: площадь квадрата, построенного на гипотенузе прямоугольного треугольника, равна сумме площадей квадратов, построенных на его катетах.

В наши дни известно несколько десятков различных доказательств теоремы Пифагора. Одни из них основаны на разбиении квадратов, при котором квадрат, построенный на гипотенузе, состоит из частей, входящих в разбиение квадратов, построенных на катетах; другие – на дополнение до других фигур; третьи — на том, что высота, опущенная из вершины прямого угла на гипотенузу, делит прямоугольный треугольник на два подобных ему треугольника. Существуют ,, алгебраические” ( путём алгебраической выкладкой), и ,, геометрические” ( путём построения)доказательства.

Евклид доказывал её ,, геометрически”. Он строил на сторонах прямоугольного треугольника квадраты и доказывал, что сумма площадей квадратов, построенных на катетах равна площади квадрата, построенного на гипотенузе. Сейчас мы рассмотрим те доказательства теоремы Пифагора, которые используют эту идею.

Вероятно, факт, изложенный в теореме Пифагора, был сначала установлен для равнобедренных прямоугольных треугольников.( Рис.1)

Рис 1.

Достаточно взглянуть на мозаику из тёмных и светлых треугольников, изображенную на рис.1, чтобы убедиться в справедливости теоремы для треугольника АВС: квадрат, построенный на гипотенузе, содержит 4 треугольника, а квадраты, построенные на катетах- по 2 треугольника. Для доказательства общего случая в Древней Индии располагали двумя способами: в квадрате со стороной a+bизображали четыре прямоугольных треугольника с катетами длиной aи b(рис.2,aи 2,б), после чего писали одно слово «Смотри!».

Рис.2а Рис.2б

И действительно, взглянув на эти рисунки, видим, что слева свободная от треугольников фигура, состоящая из двух квадратов со сторонами aи bсоответственно , ее площадь ровна a² + b² ,а справа – квадрат со стороной с –его площадь ровна с². Значит , a² + b² = с², что и составляет утверждение

теоремы Пифагора.

Ещё одно интересное доказательство теоремы Пифагора:

Рис.3.(а) Рис.3 (б)

На рис.3.(а) на катетах выделенного прямоугольного треугольника внутрь построены квадраты; квадрат на гипотенузе построен наружу. Везде, где один квадрат налегает на другой, стороны квадратов продолжены. Равновеликие фигуры ( фигуры, имеющие равные площади) окрашены в одинаковый цвет. Из рисунка видно, что треугольник, образованный из красной трапеции и жёлтого треугольника ( красно-жёлтый треугольник) , равновелик треугольнику, образованному из зелёной трапеции и серого треугольника ( серо- зелёный треугольник).

На рис.3.(б) на катетах исходного треугольника ( теперь белого ) квадраты построены внешним образом, причём в одном из них серо-зелёный треугольник заменён на равновеликий ему красно-жёлтый. Заменив ещё раз зелёную трапецию с серым треугольником на красную трапецию с жёлтым треугольником, получим нужное равенство фигур.

Однако в течение двух тысячелетий применяли не это наглядное доказательство, а более сложное доказательство, придуманное Евклидом, который помещено в его знаменитой книге «Начала».

Евклид опустил высоту из вершины прямого угла гипотенузу и доказал, что ее продолжение делит построенный на гипотенузе квадрат на два прямоугольника, площади которых равны площадям соответствующих квадратов, построенных на катетах (рис.4).

Рис.4.

Чертеж, применяемый при доказательстве этой теоремы, в шутку называют «Пифагоровы штаны». В течение долго времени он считался одним из символов математической науки.

Итак, мы доказали справедливость теоремы Пифагора для квадратов, построенных на сторонах прямоугольного треугольника.

Теперь возникает вопрос:

,,Справедлива ли теорема Пифагора для других фигур, построенных на сторонах прямоугольного треугольника, чьи площади пропорциональны площадям квадратов, построенных на сторонах этого прямоугольного треугольника?”

Докажем это.

Действительно, по теореме Пифагора в прямоугольном треугольнике

a2 + b2 = c2,

где a, b, c– его катеты и гипотенуза. Заметим теперь, что если у нас есть фигуры А, В и С, площади SA, SB, SCкоторых равны, соответственно,ka2, kb2 и kc2, то

ka2 +kb2 = kc2 ( : k )

a2 + b2 = c2, или

SA+ SB= SC.

То есть, сумма площадей фигур, построенных на катетах прямоугольного треугольника, равна площади фигуры, построенной на гипотенузе.

Это и есть одно из обобщений теоремы Пифагора.

Проведём некоторые исследования.

2) Докажем сначала , что , пифагорово соотношение” справедливо для подобных фигур ( фигур, которые имеют одинаковую форму но различные размеры), построенных на сторонах прямоугольного треугольника.

На сторонах прямоугольного треугольника будем строить секторы с прямым углом ( часть круга, ограниченного двумя радиусами), полукруги, луночки, дуговые треугольники.

Рис.5. Секторы Рис.6. Полукруги

Рис.7 . Луночки Рис.8 Криволинейные

треугольники

Из рисунков видно что, вместо квадратов на сторонах прямоугольного треугольника можно строить любые подобные между собой фигуры . При этом площадь фигуры, построенной на катетах, равна площади фигуры, построенной на гипотенузе, т. е. для этих фигур справедливо.,, пифагорово соотношение” .

Комбинируя секторы и круги, луночки и дуговые треугольники, мы получим рисунки, на которых снова площадь синей фигуры, построенной на катетах, равна площади красной фигуры, построенной на гипотенузе.

Докажем справедливость ,, пифагорова соотношения” для более сложных фигур, построенных на катетах и гипотенузе.

Для этого рассмотрим равновеликие фигуры. На рис. №9 площади — a2 (a-сторона квадрата), на рис. 10 — площади

, на рис. 11 –площадь

, на рис 12 — площади

.

Рис.9 S= a2

Рис.10 S=

Рис. 11 S=

Рис.12 S=

Комбинируя их на катетах и гипотенузе прямоугольного треугольника, получим серию рисунков, которые подтверждают,, пифагорово соотношение” .

Заменяя построенные фигуры на равновеликие им, можно получить ещё целую серию рисунков, подтверждающих обобщающую теорему Пифагора.

Вывод:

Таким образом, вместо квадратов на сторонах прямоугольного треугольника можно строить не только квадраты, подобные между собой фигуры, но и фигуры, комбинированные из этих фигур. При этом площадь фигуры, построенной на катетах, равна площади фигуры, построенной на гипотенузе.

2часть

Практическое применение обобщения теоремы Пифагора

Применяя обобщение теоремы для прямоугольного треугольника, мы теперь легко сможем решить следующую задачу.

Задача 1. Доказать, что сумма площадей чёрных криволинейных треугольников, построенных на сторонах трапеции, диагональ которой перпендикулярна боковой стороне, равна площади такого же красного треугольника, построенного на большем основании.

Решение.

Применяя обобщающую теорему Пифагора к прямоугольному

треугольнику, заключаем, что сумма площадей криволинейных

треугольников, построенных на верхнем основании и правой боковой

стороне, равна площади криволинейного треугольника, построенного

на диагонали. Тогда сумма площадей криволинейных треугольников,

построенных на левой боковой стороне и диагонали равна площади

криволинейного треугольника, построенного на нижнем основании.

Задача №2 . Возможно ли превратить в прямоугольную фигуру

луночку, составленную двумя дугами окружности?

Решение.

Эту задачу можно легко решить, если воспользоваться обобщённой пифагоровой теоремой: сумма площадей полукругов, построенных на катетах, равна площади полукруга, построенного на гипотенузе.(Рис.10)

Рис.10 Рис. 11 Рис.12

Перекинув большой круг в другую сторону ( Рис.11 ), видим, что обе

заштрихованные луночки вместе равновелики треугольнику. Если

треугольник взять равнобедренный, то каждая луночка в отдельности

будет равновелика половине этого треугольника (Рис. 12). Отсюда

следует, что можно геометрически точно построить равнобедренный

прямоугольный треугольник, площадь которого равна площади серпа

. А так как равнобедренный прямоугольный треугольник

превращается в равновеликий квадрат ( Рис. 13 ), то и серп можно

чисто геометрическим построением заменить равновеликим

квадратом Рис.13).

Рис. 13. Рисч.14.

Остаётся только превратить этот квадрат в равновеликую фигуру Красного креста ( составленную, как известно, из пяти примкнутых к друг друг3 квадратов ). Существует несколько способов выполнения такого построения, два из них показаны на рис. 14 и рис.15. Оба построения начинаются с того, что соединяют вершины квадрата с серединами противоположных сторон.

Рис.15. Рис.16.

Итак, ход построения креста, равновеликому серпу: (Рис.16)

А) концы А и В серпа соединяют прямой;

Б) в середине О этой прямой восстанавливают перпендикуляр и откладывают ОС=ОА;

В) равнобедренный треугольник ОАС дополняют до квадрата ОАДС, который превращают в крест одним из способов, указанных на рис. 14и рис. 15

Следовательно, луночку, составленную двумя дугами окружности

Можно превратить в прямоугольную фигуру, что нельзя сказать о превращении полного круга в равновеликий квадрат.

Заключение

С помощью теоремы Пифагора доказывается другое ее обобщение, позволяющее вычислить длину стороны, лежащей против острого или тупого угла:

Формула(1): c²=a² + b² — 2ab cos C

Из этого обобщения следует, что наличие прямого угла С в квадрате АВС является не только достаточным, но и необходимым условием для выполнения равенства c²=a² + b².

.. Другое обобщение связано с переходом от плоскости к пространству. Оно формируется так: квадрат длины диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов его измерений (длины, ширены и высоты). Аналогичная теорема верна и в многомерном и даже бесконечномерном случаются.

Работая над проектом, я изучила специальную литературу, познакомилась с одним из обобщений теоремы Пифагора, научилась применять это обобщение при решении задач.

Список литературы:

Файлы: обобщая теорему Пифагора.ppt
Размер файла: 10141184 байт.