Автор конспекта:
Автор(ы): — Вдовина Надежда Владимировна

Место работы, должность: — МОУ СОШ №5 г. Искитима, учитель математики

Регион: — Новосибирская область

Характеристика конспекта:
Уровни образования: — среднее (полное) общее образование

Класс(ы): — 10 класс
Класс(ы): — 11 класс

Предмет(ы): — Алгебра

Целевая аудитория: — Методист
Целевая аудитория: — Учащийся (студент)
Целевая аудитория: — Учитель (преподаватель)

Ресурс для профильной школы: — Ресурс для профильной школы

Тип ресурса: — методическая разработка

Краткое описание ресурса: — Спецкурс, требует от учителя очень хорошего знания элементарной математики и четких представлений об основах высшей математики. При умелом подходе курс дает широкие возможности повторения и обобщения курса алгебры и основ анализа. В курсе решается и разбирается и учителем, и учащимися большое число сложных задач, многие из которых понадобятся при подготовке к различного рода экзаменам, в частности ЕГЭ.

Пояснительная записка

Спецкурс, требует от учителя очень хорошего знания элементарной математики и четких представлений об основах высшей математики. При умелом подходе курс дает широкие возможности повторения и обобщения курса алгебры и основ анализа. В курсе решается и разбирается и учителем, и учащимися большое число сложных задач, многие из которых понадобятся как при учебе в высшей школе, так и при подготовке к различного рода экзаменам, в частности ЕГЭ. При желании учитель может по-разному расставить акценты в процессе ведения данного курса. Можно, к примеру, сделать крен в сторону «абитуриентской» математики. Этому способствует набор тем, рассматриваемых в процессе изучения курса. Особенно такой темы, как алгебраические задачи с параметрами, в ходе изучения которой с учащимися будут разобраны такие важные вопросы, как: рациональные задачи с параметрами, иррациональные задачи с параметрами, параметры и модули, критические значения параметра, метод интервалов в неравенствах с параметрами, замена переменной в задачах с параметрами, метод разложения на множители в задачах с параметрами, решения задач с помощью «разрешения относительно параметра», метод координат (или горизонтальных сечений) в задачах с параметрами, метод областей в рациональных и иррациональных неравенствах с параметрами, применение производной при анализе и решении задач с параметрами, выписывание и «собирание» ответа в задачах с параметрами.

Курс, с одной стороны, поддерживает изучение основного курса математики, направлен на систематизацию знаний, в том числе и методов обоснований (методов решения задач), реализацию внутрипредметных связей, способствует лучшему освоению базового курса математики, а с другой — служит для внутрипрофильной дифференциации и построения индивидуального образовательного пути, для раскрытия основных закономерностей построения математической теории, направлен на рассмотрение фундаментальных понятий математики (действительное число и др.), способов конструирования локальных математических теорий, самостоятельной деятельности по построению микроисследований. Как один из результатов его освоения может быть осознанный выбор других элективных математических курсов, а также профессиональной деятельности в области теоретической или прикладной математики.

Объем аудиторных часов — 70 (по одному часу в неделю). Курс целесообразно изучать в 10 -11 классе. Он предназначен для реализации в рамках информационно-математического профиля. Часть его материалов может быть включена в базовый курс математики либо реализована в рамках предпрофильной подготовки.

Содержание курса

В скобках после наименования темы указано ориентировочное время на ее изучение

ТЕМА 1. МНОГОЧЛЕНЫ И ПОЛИНОМИАЛЬНЫЕ АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ (12 ч.)

Представление о целых рациональных алгебраических выражениях. Степень многочлена. Делимость и деление многочленов с остатком. Алгоритмы деления с остатком.

Теорема Безу. Корни многочленов. Следствия из теоремы Безу: теоремы о делимости на двучлен и о числе корней многочленов. Кратные корни. Общая теорема Виета.

Элементы комбинаторики: перестановки, сочетания, размещения, перестановки с повторениями. Формула Ньютона для степени бинома. Треугольник Паскаля.

Квадратный трехчлен: линейная замена, график, корни, разложение, теорема Виета.

Квадратичные неравенства: метод интервалов и схема знаков квадратного трехчлена.

Уравнения степени 4. Биквадратные уравнения. Представление о методе замены.

Линейная замена, основанная на симметрии.

Угадывание корней. Разложение. Метод неопределенных коэффициентов. Полиномиальные уравнения высших степеней. Понижение степени заменой и разложением. Теоремы о рациональных корнях многочленов с целыми коэффициентами.

ТЕМА 2. РАЦИОНАЛЬНЫЕ АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА (10 ч.)

Представление о рациональных алгебраических выражениях. Симметрические и возвратные многочлены и уравнения.

Дробно-рациональные алгебраические уравнения. Общая схема решения. Метод замены при решении дробно-рациональных уравнений.

Дробно-рациональные алгебраические неравенства. Общая схема решения методом сведения к совокупностям систем.

Метод интервалов решения дробно-рациональных алгебраических неравенств.

Метод оценки. Использование монотонности. Метод замены при решении неравенств.

Неравенства с двумя переменными. Множества решений на координатной плоскости. Стандартные неравенства. Метод областей.

ТЕМА 3. РАЦИОНАЛЬНЫЕ АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ (15 ч)

Уравнения с несколькими переменными. Рациональные уравнения с двумя переменными. Однородные уравнения с двумя переменными.

Рациональные алгебраические системы. Метод подстановки. Метод исключения переменной. Равносильные линейные преобразования систем.

Однородные системы уравнений с двумя переменными.

Замена переменных в системах уравнений.

Симметрические системы с двумя переменными.

Метод разложения при решении систем уравнений.

Сведение уравнений к системам.

ТЕМА 4 . ИРРАЦИОНАЛЬНЫЕ АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ (10 ч.)

Представление об иррациональных алгебраических функциях. Понятия арифметических и алгебраических корней. Иррациональные алгебраические выражения и уравнения.

Уравнения с квадратными радикалами. Замена переменной. Замена с ограничениями.

Неэквивалентные преобразования. Сущность проверки.

Метод эквивалентных преобразований уравнений с квадратными радикалами.

Сведение иррациональных и рациональных уравнений к системам.

Освобождение от кубических радикалов.

Иррациональные алгебраические неравенства. Почему неравенства с радикалами сложнее уравнений.

Эквивалентные преобразования неравенств. Стандартные схемы освобождения от радикалов в неравенствах (сведение к системам и совокупностям систем).

«Дробно-иррациональные» неравенства. Сведение к совокупностям систем.

Теорема о промежуточном значении непрерывной функции. Определение промежутков знакопостоянства непрерывных функций. Метод интервалов при решении иррациональных неравенств.

Замена при решении иррациональных неравенств.

Использование монотонности и оценок при решении неравенств.

Уравнения с модулями. Раскрытие модулей — стандартные схемы. Метод интервалов при раскрытии модулей.

Неравенства с модулями. Простейшие неравенства. Схемы освобождения от модулей в неравенствах.

Эквивалентные замены разностей модулей в разложенных и дробных неравенствах («правило знаков»).

Иррациональные алгебраические системы. Основные приемы.

Смешанные системы с двумя переменными.

ТЕМА 5. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ С ПАРАМЕТРАМИ (12 ч.)

Что такое задача с параметрами. Аналитический подход. Выписывание ответа (описание множеств решений) в задачах с параметрами.

Рациональные задачи с параметрами. Запись ответов.

Иррациональные задачи с параметрами. «Собирание» ответов.

Задачи с модулями и параметром. Критические значения параметра.

Метод интервалов в неравенствах с параметрами.

Замена в задачах с параметрами.

Метод разложения в задачах с параметрами. Разложение с помощью разрешения относительно параметра.

Системы с параметрами.

Метод координат в задачах с параметрами. Идея метода.

Задачи с модулями и параметрами.

Задачи на следование и равносильность задач с параметрами. Аналитический подход. Метод координат.

Применение производной при анализе и решении задач с параметрами.

Тематическое планирование

№п/п

Тема

Число часов

10 класс

МНОГОЧЛЕНЫ И ПОЛИНОМИАЛЬНЫЕ АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ (12 ч.)

1

Представление о целых рациональных алгебраических выражениях

1

2

Степень многочлена. Делимость и деление многочленов с остатком. Алгоритмы деления с остатком.

1

3

Теорема Безу. Корни многочленов.

1

4

Следствия из теоремы Безу: теоремы о делимости на двучлен и о числе корней многочленов

1

5

Перестановки

1

6

Сочетания

1

7

Размещения

1

8

Формула Ньютона для степени бинома. Треугольник Паскаля.

1

9

Квадратный трехчлен

1

10

Кубические многочлены

1

11

Уравнения степени 4. Биквадратные уравнения

1

12

Метод неопределенных коэффициентов

1

РАЦИОНАЛЬНЫЕ АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА (10 ч.)

13

Представление о рациональных алгебраических выражениях. Симметрические и возвратные многочлены и уравнения.

1

14

Симметрические и возвратные многочлены и уравнения.

1

15

Дробно-рациональные алгебраические уравнения. Общая схема решения.

1

16

Метод замены при решении дробно-рациональных уравнений.

1

17

Дробно-рациональные алгебраические неравенства. Общая схема решения методом сведения к совокупностям систем.

1

18

Метод интервалов решения дробно-рациональных алгебраических неравенств.

1

19

Метод оценки. Использование монотонности. Метод замены при решении неравенств.

1

20

Метод замены при решении неравенств.

1

21

Неравенства с двумя переменными. Множества решений на координатной плоскости.

1

22

Стандартные неравенства. Метод областей.

1

РАЦИОНАЛЬНЫЕ АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ (14 ч)

23

Уравнения с несколькими переменными.

1

24

Рациональные уравнения с двумя переменными.

2

25

Однородные уравнения с двумя переменными.

2

26

Замена переменных в системах уравнений.

2

27

Системы Виета и симметрические системы с двумя переменными.

2

28

Метод разложения при решении систем уравнений.

1

29

Сведение уравнений к системам.

2

30

Системы с тремя переменными. Основные методы

1

31

Системы Виета с тремя переменными.

1

11 класс

ИРРАЦИОНАЛЬНЫЕ АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ ( 22 ч.)

32

Иррациональные алгебраические выражения и уравнения

1

33

Уравнения с квадратными радикалами. Замена переменной. Замена с ограничениями.

3

34

Сведение иррациональных и рациональных уравнений к системам.

4

35

Иррациональные алгебраические неравенства

4

36

Стандартные схемы освобождения от радикалов в неравенствах (сведение к системам и совокупностям систем).

3

37

Дробно-иррациональные неравенства. Сведение к совокупностям систем.

3

39

Уравнения с модулями

4

АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ С ПАРАМЕТРАМИ (12 ч.)

40

Рациональные задачи с параметрами. Запись ответов. Применение производной при анализе и решении задач с параметрами.

1

41

Иррациональные задачи с параметрами. «Собирание» ответов.

1

42

Задачи с модулями и параметром. Критические значения параметра.

1

43

Метод интервалов в неравенствах с параметрами.

1

44

Замена в задачах с параметрами.

1

45

Метод разложения в задачах с параметрами. Разложение с помощью разрешения относительно параметра.

1

46

Системы с параметрами

1

47

Метод координат

1

48

Метод «Оха» при решении рациональных и иррациональных алгебраических уравнений с параметрами. Уединение параметра и метод «Оха»

1

49

Метод «Оха» при решении рациональных и иррациональных алгебраических неравенств и систем неравенств с параметрами

1

50

Задачи на следование и равносильность задач с параметрами. Аналитический подход. Метод координат

1

51

Применение производной при анализе и решении задач с параметрами

1

Рекомендуемая литература

Вавилов В.В. Задачи по математике

Говоров В.М. Сборник конкурсных задач по математике .М.: «Наука» 1986

Жафяров А.Ж. Профильное обучение математике старшеклассников.- Новосибирск: Сибирское университетское издательство. 2003

Крамор В.С. Примеры с параметрами и их решения М.:Аркти 2001

Локоть В.В.Задачи с параметрами и их решения М.:Аркти 2002

Матвиевская Г.П. Рене Декарт: Книга для учащихся. — М.: Просвещение, 1987.

Математический энциклопедический словарь / Гл. ред. Ю.В. Прохоров. — М.: Большая российская энциклопедия, 1995.

Сканави М.И. Сборник задач по математике. М.: Высшая школа .1969

Шарыгин И.Ф. Факультативный курс по математике 10-11 М.: Просвещение 1991

Образовательный комплекс «Алгебраические задачи с параметрами»

Этот комплекс включает в себя уроки по следующим разделам:

Ø Элементарные функции в уравнениях с параметрами

Ø Решение неравенств с параметрами

Ø Некоторые особые приёмы решения задач с параметрами

К каждому уроку прилагаются цифровые ресурсы следующих типов

· Теоретический слайд

· Динамическая модель

· Мультимедиа демонстрации

· Разборы примеров

· Пошаговые тренажёры

· Упражнения

· Задачи для самопроверки

· Контрольные задания

Файлы: Проект Алгебраич уравнения и нер-ва.doc
Размер файла: 1211392 байт.

( план – конспект урока 1 класс 5 класс. 6 класс 7 класс 8 класс 9 класс 10 класс Английский язык Литературное чтение Математика Музыка ОБЖ Окружающий мир Оренбургская область Физика ЦОР алгебра биология викторина внеклассное мероприятие география геометрия здоровье игра информатика история классный час конкурс конспект урока краеведение кроссворд литература начальная школа обществознание презентация программа проект рабочая программа русский язык тест технология урок химия экология