Автор конспекта:
Автор(ы): — Оршокдугова Р.М.

Место работы, должность: —

учитель математики МБОУ СОШ №32 г.о.Нальчик

Регион: — Республика Кабардино-Балкария

Характеристика конспекта:
Уровни образования: — основное общее образование

Класс(ы): — 11 класс

Предмет(ы): — Алгебра

Целевая аудитория: — Учитель (преподаватель)

Ресурс для профильной школы: — Ресурс для профильной школы

Тип ресурса: — сценарий урока (занятия)

Краткое описание ресурса: —

Урок — обобщения и систематизации знаний по решению показательных уравнений

Муниципальное общеобразовательное учреждение

Средняя общеобразовательная школа №32

О Т К Р Ы Т Ы Й У Р О К

Методы решения показательных уравнений

Учитель математики

высшей категории

Оршокдугова Р.М.

г.Нальчик, 2010 г.

Девиз урока :

«Дорогу осилит идущий , а математику – мыслящий»

Т. Эдисон

Цели урока:

а) образовательные:

-закрепить решение простейших показательных уравнений;

-показать дополнительные методы решения показательных уравнений;

-обобщить и систематизировать методы решения показательных уравнений;

б) развивающие:продолжить работу по развитию умений работать с дополнительной литературой;

в) воспитательные:

-организация совместных действий, ведущих к активизации учебного процесса;

-стимулирование учеников к самооценке образовательной деятельности;

-учащиеся работают над решением проблемы, поставленной учителем;

Оборудование урока: проектор, компьютер, презентация к уроку.

Ход урока

Звучит песня: «Погода в школе»

Результаты медицинского осмотра и антропометрических данных показали, что состояние здоровья школьников в нашей стране с каждым годом ухудшается. И на первое место выходят заболевания опорно-двигательного аппарата- 82%..Появляются заболевания сердечно-сосудистой системы: вегето — сосудистая дистония , головные боли. Когда голова постоянно находится в наклонном положении, нарушается кровообращение.

.

Одной из важнейших задач, стоящих перед школой, является сохранение здоровья детей.

Можно считать, что здоровье ученика в норме, если:

а) в физическом плане – умеет преодолевать усталость, здоровье позволяет ему справляться с учебной нагрузкой;

б) в интеллектуальном плане – проявляет хорошие умственные способности, наблюдательность, воображение, самообучаемость;

в) в нравственном плане – честен, самокритичен, эмпатичен;

г) в социальном плане – коммуникабелен, понимает юмор, сам умеет шутить;

д) в эмоциональном плане – уравновешен , способен удивляться и восхищаться.

Конечно, здоровье учащихся сегодня на уроке определяется благоприятным эмоциональным настроем.

Учитель:

Эпиграфом нашего урока я хочу предложить слова

Г. Лессинга

«Спорьте, заблуждайтесь, ошибайтесь, но, ради Бога, размышляйте, и, хотя криво – да сами».

Вам предстоит сегодня много рассуждать, делать выводы, спорить при решении показательных уравнений. Но при этом помните :

«Здоровье — не все, но все без здоровья — ничто»

Сократ

А помогут мне в этом мои ассистенты

Ассистент 1

В жизни мы часто сталкиваемся с зависимостями между величинами. Оценка по контрольной работе зависит от количества и правильности выполненных заданий,

стоимость покупки от количества купленного товара и цен. Одни зависимости носят случайный характер, другие постоянны.

Асс.2 Ученые-биологи, изучая жизнь бактерий, установили, что рост числа бактерий происходит по формуле N=5t, где N-число колоний бактерий в момент времени t, t- время размножения

Вычислите, как изменится число колоний бактерий за 2 секунды? (увеличится до 25). За 3 секунды? (увеличится до 125). Т.е. каждому моменту времени соответствует свое определенное число бактерий

Зависимость такого типа между двумя переменными была замечена не только в процессе роста числа микроорганизмов, но и, например, в спорте – зависимость длины прыжка спортсмена с трамплина от начальной скорости полета, в медицине – способность почек выводить из крови радиоактивные изотопы.

В рамках предвыборной кампании каждый кандидат выбирает себе в помощники двух доверенных лиц. Каждый из доверенных лиц в течение следующего дня, проводя агитационную работу, привлекает в команду этого кандидата еще по одному человеку. На следующий день агитационная работа проводится уже командой в 4 человека. Что произойдет с командой кандидата, если эту работу продолжить по той же схеме? Команда кандидата будет очень быстро расти.

Такая функция называется показательной.

Учитель

И сегодня на уроке, мы должны дать определение показательной функции, рассмотреть некоторые свойства и научится применять эти свойства при решении показательных уравнений разными методами.

Итак, попробуйте сформулировать определение показательной функции.

(вопросы задают ассистенты по очереди, снимая с доски «звездочки»,открывая правила)

1) функцию какого вида называют показательной;

2) какова область определения показательной функции;

3) каково множество значений показательной функции;

4)что можно сказать о монотонности показательной функции в зависимости от основания а;Слайд 35 (2),37 Построить эскиз графика функции у=4х+1,5 и найти ее множество значений

Далее один учащийся выступает с кратким сообщением по теме урока, содержание которого сводится к историческим сведениям: кто ввел понятие показательной функции, кто впервые дал понятие показательных уравнений и описал способы их решения.

Асс 1.группы

Термин «показатель» для степени ввел в 1553 г. немецкий математик (сначала монах, а затем − профессор) Михаэль Штифель (1487-1567). По-немецки показатель − Exponent, от лат. exponere: «выставлять напоказ»; exponens, exponentis − «выставляющий напоказ», «показывающий». Штифель же ввел дробные и нулевой показатели степени. Само обозначение ax для натуральных показателей степени ввел Рене Декарт (1637 г.), а свободно обращаться с такими же дробными и отрицательными показателями стал с 1676 г. сэр Исаак Ньютон.

Асс2 группы

Степени с произвольными действительными показателями, без всякого общего определения, рассматривали и Лейбниц, и Иоганн Бернулли; в 1679 г. Лейбниц ввел понятия экспоненциальной (т.е., по-русски, показательной) функции для зависимости и экспоненциальной кривой для графика этой функции. Краткое наименование «экспонента» отражено в одном из обозначений: . Через exp(x) обозначается конкретная экспонента − с показателем a = e = 2,71828… − встроенная во многие языки программирования функция.

Записали число Классная работа Тема Девиз

Постройте схематически эскиз графика у=4.5х+1,5 ( 4 примера)

Выдать звездочки

Вопрос:

5)уравнение какого вида называется показательным;

6)какая теорема используется для решения показательного уравнения;

7)какие основные методы решения показательных уравнений существуют?

Надоске записаны уравнения :ученики рассказывают каким методом решали д/з

Метод уравнивания показателей:22×-4= 64 Ответ: x= 5

Метод введения новой переменной.4x+ 2x+1– 24 = 0 Ответ: x=2.

Функционально- графический метод или метод подбора

3x= 4 – xОтвет: x= 1.

метод введения новой переменной 52x+1– 13*15x+ 54*9×-1= 0

Ответ: x1= -1, x≈ 1,4.

метод уравнивания показателей степеней. 7 2x+1+ 7 2x+2+ 7 2x+3= 57.

Ответ: x= -0,5

Звучит легкая музыка

Проверка самостоятельной работы: каждый учащийся после получения корня уравнения, должен подойти к ассистенту,чтобы получить «звезды»для оценки.).

По окончании этой работы учащиеся должны прийти к общему выводу:

На компьютере

Графически

Подбором

Преимущества

Автоматизация вычислений

Простота метода

Простота и быстрота выполнения, если корни целые и известен промежуток, на котором они определяются

Недостатки

Не соблюдается масштаб, пересечение с осью Ox неявное

Неточность, трудоемкость и затраты времени.

Можно потерять некоторые корни

Кроме того, компьютер не всегда окажется рядом, а графически и методом подбора можно решать только очень простые уравнения, имеющие целые корни, небольшие по абсолютной величине.

Изучение новых способов решения показательных уравнений: Учитель еще раз обращает внимание на цель урока: научиться решать показательные уравнения аналитическим методом. Алгоритма решения показательных уравнений через коэффициенты, как, например, квадратных уравнений, нет. Но существуют способы решений некоторых видов показательных уравнений, с которыми учащиеся на уроке и должны познакомиться. На этом уроке рассматриваются только два способа решения показательных уравнений:

Равенство оснований

Замена переменной

Применение показательной функции

Ассистент1. Показательные уравнения относятся к классу трансцендентных уравнений. Это труднопроизносимое название говорит о том, что такие уравнения, вообще говоря, не решаются в виде формул.

Ассистент2

Их можно решать только приближенно численными методами на компьютерах. А как же быть с экзаменационными задачами? Вся хитрость состоит в том, что экзаменатор так составляет задачу, что она как раз допускает аналитическое решение. Иными словами, Вы можете (и должны!) проделать такие тождественные преобразования, которые сводят данное показательное уравнение к самому простому показательному уравнению. Это самое простое уравнение так и называется: простейшее показательное уравнение. Оно решается логарифмированием.

Ассистент1

Ситуация с решением показательного уравнения напоминает путешествие по лабиринту, который специально придуман составителем задачи. Из этих весьма общих рассуждений следуют вполне конкретные рекомендации.

Метод решения хорош, если с самого начала мы можем предвидеть – и в последствии подтвердить это, — что, следуя этому методу, мы достигнем цели

Г. Лейбниц

Для успешного решения показательных уравнений необходимо:

1. Не только активно знать все показательные тождества, но и находить множества значений переменной, на которых эти тождества определены, чтобы при использовании этих тождеств не приобретать лишних корней, а тем более, – не терять решений уравнения.

2. Активно знать все показательные тождества.

3. Четко, подробно и без ошибок проделывать математические преобразования уравнений (переносить слагаемые из одной части уравнения в другую, не забыв про смену знака, приводить к общему знаменателю дроби и тому подобное). Это называется математической культурой. При этом сами выкладки должны делаться автоматически руками, а голова должна думать об общей путеводной нити решения. Делать преобразования надо как можно тщательней и подробней. Только это даст гарантию верного безошибочного решения. И помнить: небольшая арифметическая ошибка может просто создать трансцендентное уравнение, которое в принципе не решается аналитически. Выходит, Вы сбились с пути и уперлись в стенку лабиринта.

4. Знать методы решения задач (то есть знать все пути прохода по лабиринту решения). Для правильного ориентирования на каждом этапе Вам придется (сознательно или интуитивно!):

определить тип уравнения;

вспомнить соответствующий этому типу метод решения задачи.

Молодцы,

вы освоили решения уравнений второго уровня сложности.

• Если вы набрали 20-26 , то получаете оценку «5».
• Если вы набрали 14-19 , то получаете оценку «4».
• Если вы набрали 7-13 , то получаете оценку «3».
• Если вы набрали 0-6 , то получаете оценку «2».

Муниципальное общеобразовательное учреждение

Средняя общеобразовательная школа №32

О Т К Р Ы Т Ы Й У Р О К

Методы решения показательных уравнений

Учитель математики

высшей категории

Оршокдугова Р.М.

г.Нальчик, 2010 г.

Девиз урока :

«Дорогу осилит идущий , а математику – мыслящий»

Т. Эдисон

Цели урока:

а) образовательные:

-закрепить решение простейших показательных уравнений;

-показать дополнительные методы решения показательных уравнений;

-обобщить и систематизировать методы решения показательных уравнений;

б) развивающие:продолжить работу по развитию умений работать с дополнительной литературой;

в) воспитательные:

-организация совместных действий, ведущих к активизации учебного процесса;

-стимулирование учеников к самооценке образовательной деятельности;

-учащиеся работают над решением проблемы, поставленной учителем;

Оборудование урока: проектор, компьютер, презентация к уроку.

Ход урока

Звучит песня: «Погода в школе»

Результаты медицинского осмотра и антропометрических данных показали, что состояние здоровья школьников в нашей стране с каждым годом ухудшается. И на первое место выходят заболевания опорно-двигательного аппарата- 82%..Появляются заболевания сердечно-сосудистой системы: вегето — сосудистая дистония , головные боли. Когда голова постоянно находится в наклонном положении, нарушается кровообращение.

.

Одной из важнейших задач, стоящих перед школой, является сохранение здоровья детей.

Можно считать, что здоровье ученика в норме, если:

а) в физическом плане – умеет преодолевать усталость, здоровье позволяет ему справляться с учебной нагрузкой;

б) в интеллектуальном плане – проявляет хорошие умственные способности, наблюдательность, воображение, самообучаемость;

в) в нравственном плане – честен, самокритичен, эмпатичен;

г) в социальном плане – коммуникабелен, понимает юмор, сам умеет шутить;

д) в эмоциональном плане – уравновешен , способен удивляться и восхищаться.

Конечно, здоровье учащихся сегодня на уроке определяется благоприятным эмоциональным настроем.

Учитель:

Эпиграфом нашего урока я хочу предложить слова

Г. Лессинга

«Спорьте, заблуждайтесь, ошибайтесь, но, ради Бога, размышляйте, и, хотя криво – да сами».

Вам предстоит сегодня много рассуждать, делать выводы, спорить при решении показательных уравнений. Но при этом помните :

«Здоровье — не все, но все без здоровья — ничто»

Сократ

А помогут мне в этом мои ассистенты

Ассистент 1

В жизни мы часто сталкиваемся с зависимостями между величинами. Оценка по контрольной работе зависит от количества и правильности выполненных заданий,

стоимость покупки от количества купленного товара и цен. Одни зависимости носят случайный характер, другие постоянны.

Асс.2 Ученые-биологи, изучая жизнь бактерий, установили, что рост числа бактерий происходит по формуле N=5t, где N-число колоний бактерий в момент времени t, t- время размножения

Вычислите, как изменится число колоний бактерий за 2 секунды? (увеличится до 25). За 3 секунды? (увеличится до 125). Т.е. каждому моменту времени соответствует свое определенное число бактерий

Зависимость такого типа между двумя переменными была замечена не только в процессе роста числа микроорганизмов, но и, например, в спорте – зависимость длины прыжка спортсмена с трамплина от начальной скорости полета, в медицине – способность почек выводить из крови радиоактивные изотопы.

В рамках предвыборной кампании каждый кандидат выбирает себе в помощники двух доверенных лиц. Каждый из доверенных лиц в течение следующего дня, проводя агитационную работу, привлекает в команду этого кандидата еще по одному человеку. На следующий день агитационная работа проводится уже командой в 4 человека. Что произойдет с командой кандидата, если эту работу продолжить по той же схеме? Команда кандидата будет очень быстро расти.

Такая функция называется показательной.

Учитель

И сегодня на уроке, мы должны дать определение показательной функции, рассмотреть некоторые свойства и научится применять эти свойства при решении показательных уравнений разными методами.

Итак, попробуйте сформулировать определение показательной функции.

(вопросы задают ассистенты по очереди, снимая с доски «звездочки»,открывая правила)

1) функцию какого вида называют показательной;

2) какова область определения показательной функции;

3) каково множество значений показательной функции;

4)что можно сказать о монотонности показательной функции в зависимости от основания а;Слайд 35 (2),37 Построить эскиз графика функции у=4х+1,5 и найти ее множество значений

Далее один учащийся выступает с кратким сообщением по теме урока, содержание которого сводится к историческим сведениям: кто ввел понятие показательной функции, кто впервые дал понятие показательных уравнений и описал способы их решения.

Асс 1.группы

Термин «показатель» для степени ввел в 1553 г. немецкий математик (сначала монах, а затем − профессор) Михаэль Штифель (1487-1567). По-немецки показатель − Exponent, от лат. exponere: «выставлять напоказ»; exponens, exponentis − «выставляющий напоказ», «показывающий». Штифель же ввел дробные и нулевой показатели степени. Само обозначение ax для натуральных показателей степени ввел Рене Декарт (1637 г.), а свободно обращаться с такими же дробными и отрицательными показателями стал с 1676 г. сэр Исаак Ньютон.

Асс2 группы

Степени с произвольными действительными показателями, без всякого общего определения, рассматривали и Лейбниц, и Иоганн Бернулли; в 1679 г. Лейбниц ввел понятия экспоненциальной (т.е., по-русски, показательной) функции для зависимости и экспоненциальной кривой для графика этой функции. Краткое наименование «экспонента» отражено в одном из обозначений: . Через exp(x) обозначается конкретная экспонента − с показателем a = e = 2,71828… − встроенная во многие языки программирования функция.

Записали число Классная работа Тема Девиз

Постройте схематически эскиз графика у=4.5х+1,5 ( 4 примера)

Выдать звездочки

Вопрос:

5)уравнение какого вида называется показательным;

6)какая теорема используется для решения показательного уравнения;

7)какие основные методы решения показательных уравнений существуют?

Надоске записаны уравнения :ученики рассказывают каким методом решали д/з

Метод уравнивания показателей:22×-4= 64 Ответ: x= 5

Метод введения новой переменной.4x+ 2x+1– 24 = 0 Ответ: x=2.

Функционально- графический метод или метод подбора

3x= 4 – xОтвет: x= 1.

метод введения новой переменной 52x+1– 13*15x+ 54*9×-1= 0

Ответ: x1= -1, x≈ 1,4.

метод уравнивания показателей степеней. 7 2x+1+ 7 2x+2+ 7 2x+3= 57.

Ответ: x= -0,5

Звучит легкая музыка

Проверка самостоятельной работы: каждый учащийся после получения корня уравнения, должен подойти к ассистенту,чтобы получить «звезды»для оценки.).

По окончании этой работы учащиеся должны прийти к общему выводу:

На компьютере

Графически

Подбором

Преимущества

Автоматизация вычислений

Простота метода

Простота и быстрота выполнения, если корни целые и известен промежуток, на котором они определяются

Недостатки

Не соблюдается масштаб, пересечение с осью Ox неявное

Неточность, трудоемкость и затраты времени.

Можно потерять некоторые корни

Кроме того, компьютер не всегда окажется рядом, а графически и методом подбора можно решать только очень простые уравнения, имеющие целые корни, небольшие по абсолютной величине.

Изучение новых способов решения показательных уравнений: Учитель еще раз обращает внимание на цель урока: научиться решать показательные уравнения аналитическим методом. Алгоритма решения показательных уравнений через коэффициенты, как, например, квадратных уравнений, нет. Но существуют способы решений некоторых видов показательных уравнений, с которыми учащиеся на уроке и должны познакомиться. На этом уроке рассматриваются только два способа решения показательных уравнений:

Равенство оснований

Замена переменной

Применение показательной функции

Ассистент1. Показательные уравнения относятся к классу трансцендентных уравнений. Это труднопроизносимое название говорит о том, что такие уравнения, вообще говоря, не решаются в виде формул.

Ассистент2

Их можно решать только приближенно численными методами на компьютерах. А как же быть с экзаменационными задачами? Вся хитрость состоит в том, что экзаменатор так составляет задачу, что она как раз допускает аналитическое решение. Иными словами, Вы можете (и должны!) проделать такие тождественные преобразования, которые сводят данное показательное уравнение к самому простому показательному уравнению. Это самое простое уравнение так и называется: простейшее показательное уравнение. Оно решается логарифмированием.

Ассистент1

Ситуация с решением показательного уравнения напоминает путешествие по лабиринту, который специально придуман составителем задачи. Из этих весьма общих рассуждений следуют вполне конкретные рекомендации.

Метод решения хорош, если с самого начала мы можем предвидеть – и в последствии подтвердить это, — что, следуя этому методу, мы достигнем цели

Г. Лейбниц

Для успешного решения показательных уравнений необходимо:

1. Не только активно знать все показательные тождества, но и находить множества значений переменной, на которых эти тождества определены, чтобы при использовании этих тождеств не приобретать лишних корней, а тем более, – не терять решений уравнения.

2. Активно знать все показательные тождества.

3. Четко, подробно и без ошибок проделывать математические преобразования уравнений (переносить слагаемые из одной части уравнения в другую, не забыв про смену знака, приводить к общему знаменателю дроби и тому подобное). Это называется математической культурой. При этом сами выкладки должны делаться автоматически руками, а голова должна думать об общей путеводной нити решения. Делать преобразования надо как можно тщательней и подробней. Только это даст гарантию верного безошибочного решения. И помнить: небольшая арифметическая ошибка может просто создать трансцендентное уравнение, которое в принципе не решается аналитически. Выходит, Вы сбились с пути и уперлись в стенку лабиринта.

4. Знать методы решения задач (то есть знать все пути прохода по лабиринту решения). Для правильного ориентирования на каждом этапе Вам придется (сознательно или интуитивно!):

определить тип уравнения;

вспомнить соответствующий этому типу метод решения задачи.

Молодцы,

вы освоили решения уравнений второго уровня сложности.

• Если вы набрали 20-26 , то получаете оценку «5».
• Если вы набрали 14-19 , то получаете оценку «4».
• Если вы набрали 7-13 , то получаете оценку «3».
• Если вы набрали 0-6 , то получаете оценку «2».