Автор конспекта:
Автор(ы): — Игнатенко Александр Анатольевич

Место работы, должность: — МОУ средняя общеобразовательная школа № 2 имени Н.И.Ковалёва города Невеля, учитель информатики и физики

Регион: — Псковская область

Характеристики урока (занятия) Уровень образования: — среднее (полное) общее образование

Целевая аудитория: — Учащийся (студент)

Класс(ы): — 10 класс
Класс(ы): — 11 класс

Предмет(ы): — Информатика и ИКТ

Цель урока: — • Формирование умения применять полученные знания на практике; • Развитие умения построения таблиц истинности по заданным формулам; • Развитие умения решать текстовые задачи с использованием законов логики.

Тип урока: — Урок комплексного применения ЗУН учащихся

Учеников в классе: — 23

Используемые учебники и учебные пособия: —

Normal 0 false false false MicrosoftInternetExplorer4 /* Style Definitions */ table.MsoNormalTable {mso-style-name:»Обычная таблица»; mso-tstyle-rowband-size:0; mso-tstyle-colband-size:0; mso-style-noshow:yes; mso-style-parent:»»; mso-padding-alt:0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; mso-para-margin:0cm; mso-para-margin-bottom:.0001pt; mso-pagination:widow-orphan; font-size:10.0pt; font-family:»Times New Roman»; mso-ansi-language:#0400; mso-fareast-language:#0400; mso-bidi-language:#0400;}

1. Демонстрационные варианты ЕГЭ 2004-2009 гг.

2. ГусеваИ.Ю. ЕГЭ. Информатика: раздаточный материал тренировочных тестов. — СПб: Тригон, 2009.

Используемые ЦОР: —

CD. Информатика. Экспресс-подготовка к экзамену. / "Новая школа", 2006. www.new-school.ru

Краткое описание: — В настоящее время в текстах ЕГЭ по информатике есть много заданий по теме “алгебра логики”. Цель данного занятия – закрепление навыков решения заданий ЕГЭ по информатике с использованием элементов алгебры логики. 1. Повторение логических операций и законов. 2. Примение логических операций и законов на практике. 3. Объяснение домашнего задания. 4. Подведение итогов занятия.

Еще пример задания: v\:* {behavior:url(#default#VML);} o\:* {behavior:url(#default#VML);} w\:* {behavior:url(#default#VML);} .shape {behavior:url(#default#VML);} Normal 0 false false false MicrosoftInternetExplorer4 /* Style Definitions */ table.MsoNormalTable {mso-style-name:»Обычная таблица»; mso-tstyle-rowband-size:0; mso-tstyle-colband-size:0; mso-style-noshow:yes; mso-style-parent:»»; mso-padding-alt:0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; mso-para-margin:0cm; mso-para-margin-bottom:.0001pt; mso-pagination:widow-orphan; font-size:10.0pt; font-family:»Times New Roman»; mso-ansi-language:#0400; mso-fareast-language:#0400; mso-bidi-language:#0400;} table.MsoTableGrid {mso-style-name:»Сетка таблицы»; mso-tstyle-rowband-size:0; mso-tstyle-colband-size:0; border:solid windowtext 1.0pt; mso-border-alt:solid windowtext .5pt; mso-padding-alt:0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; mso-border-insideh:.5pt solid windowtext; mso-border-insidev:.5pt solid windowtext; mso-para-margin-top:0cm; mso-para-margin-right:0cm; mso-para-margin-bottom:10.0pt; mso-para-margin-left:0cm; line-height:115%; mso-pagination:widow-orphan; font-size:10.0pt; font-family:Calibri; mso-fareast-font-family:Calibri; mso-ansi-language:#0400; mso-fareast-language:#0400; mso-bidi-language:#0400;}

B4 (высокий уровень, время – 10 мин)

Тема: Преобразование логических выражений.

Что нужно знать:

· условные обозначения логических операций

¬ A не A (отрицание, инверсия)

A Ù B A и B (логическое умножение, конъюнкция)

A Ú B A или B (логическое сложение, дизъюнкция)

A → B импликация (следование)

A ↔ B эквиваленция (эквивалентность, равносильность)

· таблицы истинности логических операций «И», «ИЛИ», «НЕ», «импликация», «эквиваленция»

· операцию «импликация» можно выразить через «ИЛИ» и «НЕ»:

A → B = ¬ A Ú B

· операцию «эквиваленция» также можно выразить через «ИЛИ» и «НЕ»:

A ↔ B = ¬ A Ù ¬ B Ú A Ù B

· если в выражении нет скобок, сначала выполняются все операции «НЕ», затем – «И», затем – «ИЛИ», и самая последняя – «импликация»

· логическое произведение A∙B∙C∙… равно 1 (выражение истинно) только тогда, когда все сомножители равны 1 (а в остальных случаях равно 0)

· логическая сумма A+B+C+… равна 0 (выражение ложно) только тогда, когда все слагаемые равны 0 (а в остальных случаях равна 1)

· правила преобразования логических выражений

Пример задания:

Каково наибольшее целое число X, при котором истинно высказывание

(50 < X·X) → (50 > (X+1)·(X+1))

Решение (вариант 1):

1) это операция импликации между двумя отношениями A=(50(X+1)2)

2) попробуем сначала решить неравенствf

3) вспомним таблицу истинности операции «импликация»:

A

B

A → B

0

0

1

0

1

1

1

0

0

1

1

1

4) согласно таблице, заданное выражение истинно везде, кроме областей, где A=1 и B=0

5) поэтому наибольшее целое число, удовлетворяющее условию – это первое целое число, меньшее 7.1 , то есть, 7

6) таким образом, верный ответ – 7 .

Решение (вариант 2, преобразование выражения):

1) сначала можно преобразовать импликацию, выразив ее через «ИЛИ» и «НЕ»: A →B = не A + B

2) это значит, что выражение истинно там, где A=0 или B=1

3) дальнейшие действия точно такие же, как и в варианте 1.

Еще пример задания:

Сколько различных решений имеет уравнение

((K Ú L) → (L Ù M Ù N)) = 0

где K, L, M, N – логические переменные? В ответе не нужно перечислять все различные наборы значений K, L, M и N, при которых выполнено данное равенство. В качестве ответа Вам нужно указать количество таких наборов.

Решение (вариант 1):

1) перепишем уравнение, используя более простые обозначения операций:

((K + L) → (L · M · N)) = 0

2) из таблицы истинности операции «импликация» (см. первую задачу) следует, что это равенство верно тогда и только тогда, когда одновременно

K + L = 1 и L · M · N = 0

3) из первого уравнения следует, что хотя бы одна из переменных, K или L равна 1 (или обе вместе); поэтому рассмотрим три случая

4) если K = 1 и L = 0, то второе равенство выполняется при любых М и N; поскольку существует 4 комбинации двух логических переменных (00, 01, 10 и 11), имеем 4 разных решения

5) если K = 1 и L = 1, то второе равенство выполняется при М · N = 0; существует 3 таких комбинации (00, 01 и 10), имеем еще 3 решения

6) если K = 0, то обязательно L = 1 (из первого уравнения); при этом второе равенство выполняется при М · N = 0; существует 3 таких комбинации (00, 01 и 10), имеем еще 3 решения

7) таким образом, всего получаем 4 + 3 + 3 = 10 решений.

Еще пример задания:

Укажите значения переменных К, L, M, N, при которых логическое выражение

(¬(М Ú L) Ù К) → (¬К Ù ¬М) Ú N)

ложно. Ответ запишите в виде строки из 4 символов: значений переменных К, L, М и N (в указанном порядке). Так, например, строка 1101 соответствует тому, что К=1, L=1, M=0, N=1.

Решение (анализ исходного выражения):

1) запишем уравнение, используя более простые обозначения операций (условие «выражение ложно» означает, что оно равно логическому нулю):

(не(M +L) . K) → (не K . не M + N) = 0

2) из формулировки условия следует, что выражение должно быть ложно только для одного набора переменных

3) из таблицы истинности операции «импликация» (см. первую задачу) следует, что это выражение ложно тогда и только тогда, когда одновременно

(не(M +L) . K) = 1 и (не K . не M + N) = 0

4) первое равенство (логическое произведение равно 1) выполняется тогда и только тогда, когда K=1и не(M +L)=1 ; отсюда следует M+L=0 (логическая сумма равна нулю), что может быть только при M= L = 0 ; таким образом, три переменных мы уже определили

5) из второго условия, (не K . не M + N) = 0 , при K=1 и M=1 получаем N=0

6) таким образом, правильный ответ – 1000.

Еще пример задания:

Составьте таблицу истинности для логической функции

X = (А ↔ B) Ú ¬(A → (B Ú C))

в которой столбец значений аргумента А представляет собой двоичную запись числа 27, столбец значений аргумента В – числа 77, столбец значений аргумента С – числа 120. Число в столбце записывается сверху вниз от старшего разряда к младшему. Переведите полученную двоичную запись значений функции X в десятичную систему счисления.

Решение (вариант 1):

1) запишем уравнение, используя более простые обозначения операций:

X = (A ↔ B) + не(A → (B+C))

2) это выражение с тремя переменными, поэтому в таблице истинности будет 23=8 строчек; следовательно, двоичная запись чисел, по которым строятся столбцы таблицы А, В и С, должна состоять из 8 цифр

А

В

С

X

0

0

0

0

1

1

0

0

1

1

0

1

1

1

1

0

1

0

1

0

0

1

1

0

3) переведем числа 27, 77 и 120 в двоичную систему, сразу дополняя запись до 8 знаков нулями в начале чисел

27 = 000110112 77 = 010011012 120 = 011110002

4) теперь можно составить таблицу истинности (см. рисунок справа), в которой строки переставлены в сравнении с традиционным порядком; зеленым фоном выделена двоичная записи числа 27 (биты записываются сверху вниз), синим – запись числа 77 и розовым – запись числа 120:

5) вряд ли вы сможете сразу написать значения функции Х для каждой комбинации, поэтому удобно добавить в таблицу дополнительные столбцы для расчета промежуточных результатов (см. таблицу ниже)

6) заполняем столбцы таблицы:

А

В

С

A ↔ B

B+C

A→(B+C)

не(A→(B+C))

X

0

0

0

1

0

1

0

1

0

1

1

0

1

1

0

0

0

0

1

1

1

1

0

1

1

0

1

0

1

1

0

0

1

1

1

1

1

1

0

1

0

1

0

0

1

1

0

0

1

0

0

0

0

0

1

1

1

1

0

1

1

1

0

1

значение A ↔ B равно 1 только в тех строчках, где А = В

значение B+C равно 1 только в тех строчках, где В = 1 или С = 1

значение A→(B+C) равно 0 только в тех строчках, где А = 1 и В + С = 0

значение не(A→(B+C)) – это инверсия предыдущего столбца (0 заменяется на 1, а 1 – на 0)

результат Х (последний столбец) – это логическая сумма двух столбцов, выделенных фиолетовым фоном

7) чтобы получить ответ, выписываем биты из столбца Х сверху вниз: Х = 101010112

8) переводим это число в десятичную систему: 101010112 = 27 + 25 + 23 + 21 + 20 = 171

9) таким образом, правильный ответ – 171.

(Проверьте, что обычно (когда комбинации располагаются по возрастанию соответствующих двоичных чисел), столбец значений аргумента А представляет собой двоичную запись числа 15 = 11112, столбец значений аргумента В – числа 51 = 1100112, столбец значений аргумента С – числа 85 = 101010102.)

Решение (вариант 2, преобразование логической функции):

1) выполним пп.1-5 так же, как и в предыдущем способе

2) запишем уравнение, используя более простые обозначения операций: X = (А ↔ B) Ú ¬(A → (B Ú C))

3) раскроем импликацию через операции И, ИЛИ и НЕ ( А ↔ B = неA + B): A → (B Ú C) = неA+B+C

4) раскроем инверсию для выражения A → (B Ú C) = неA+B+C по формуле де Моргана:

не(A → (B Ú C)) = не(неA +B+C) = A . неB . неC

5) таким образом, выражение приобретает вид X = (А ↔ B) + A . неB. неC

6) отсюда сразу видно, что Х = 1 только тогда, когда А = В или (А = 1 и В = С = 0):

А

В

С

X

Примечание

0

0

0

1

А = В

0

1

1

0

0

0

1

1

А = В

1

0

1

0

1

1

1

1

А = В

0

1

0

0

1

0

0

1

А = 1, В = С = 0

1

1

0

1

А = В

7) чтобы получить ответ, выписываем биты из столбца Х сверху вниз: Х = 101010112

8) переводим это число в десятичную систему: 101010112 = 27 + 25 + 23 + 21 + 20 = 171

9) таким образом, правильный ответ – 171.

Задачи для тренировки:

1) Каково наибольшее целое число X, при котором истинно высказывание

(90 < X·X) → (X < (X-1))

2) Сколько различных решений имеет уравнение

(K Ù L Ù M) Ú (¬L Ù ¬M Ù N) = 1

где K, L, M, N – логические переменные? В ответе не нужно перечислять все различные наборы значений K, L, M и N, при которых выполнено данное равенство. В качестве ответа вам нужно указать только количество таких наборов.

3) Укажите значения переменных K, L, M, N, при которых логическое выражение

(¬K Ú M) → (¬L Ú M Ú N)

ложно. Ответ запишите в виде строки из четырех символов: значений переменных K, L, M и N (в указанном порядке). Так, например, строка 1101 соответствует тому, что K=1, L=1, M=0, N=1.

4) Каково наименьшее целое положительное число X, при котором высказывание:

(4 > -(4 + X)·X)) → (30 > X·X)

будет ложным.

5) Каково наибольшее целое положительное число X, при котором истинно высказывание:

((X - 1) < X) → (40 > X·X)

6) Укажите значения переменных K, L, M, N, при которых логическое выражение

(¬(M Ú L) Ù K) → ((¬K Ù ¬M) Ú N)

ложно. Ответ запишите в виде строки из четырех символов: значений переменных K, L, M и N (в указанном порядке). Так, например, строка 1101 соответствует тому, что K=1, L=1, M=0, N=1.

7) Каково наименьшее натуральное число X, при котором высказывание

¬(X·X < 9) → (X >(X + 2))

будет ложным?

8) Укажите значения логических переменных Р, Q, S, Т, при которых логическое выражение

(Р Ú ¬Q) Ú (Q → (S Ú Т))

ложно. Ответ запишите в виде строки из четырех символов: значений переменных Р, Q, S, T (в указанном порядке).

9) Каково наибольшее целое положительное число X, при котором высказывание:

((X + 6)·X + 9 > 0) → (X·X > 20)

будет ложным?

10) Составьте таблицу истинности для логической функции

X = (А → B) Ù (C ↔ ¬(B Ú A))

в которой столбец значений аргумента А представляет собой двоичную запись числа 226, столбец значений аргумента В – числа 154, столбец значений аргумента С – числа 75. Число в столбце записывается сверху вниз от старшего разряда к младшему. Переведите полученную двоичную запись значений функции X в десятичную систему счисления.

11) Составьте таблицу истинности для логической функции

X = ¬(А → B) Ù (B ↔ ¬(C → A))

в которой столбец значений аргумента А представляет собой двоичную запись числа 216, столбец значений аргумента В – числа 30, столбец значений аргумента С – числа 170. Число в столбце записывается сверху вниз от старшего разряда к младшему. Переведите полученную двоичную запись значений функции X в десятичную систему счисления.

Файлы: конспект урока 9 класс.doc
Размер файла: 55296 байт.