Автор конспекта:
Автор(ы): — Дужан Лариса Александровна

Место работы, должность: — ТМК ОУ «Усть-Портовская СОШ-И»

Регион: — Красноярский край

Характеристики урока (занятия) Уровень образования: — основное общее образование

Целевая аудитория: — Учитель (преподаватель)

Класс(ы): — 11 класс

Предмет(ы): — Геометрия

Цель урока: —

Разобрать определения тел вращения и связанных с ними понятий (элементы); рассмотреть основные виды сечений.

Используемая методическая литература: —

  • «Геометрия 7-9» , « Геометрия 10-11» под ред. Погорелова.
  • Пидоу. «Геометрия и искусство».
  • Д.Пойа. «Как решать задачу?».
  • Д. Пойа. «Математическое открытие».
  • Я.Е. Гольдберг. «С чего начинается решение стереометрических задач».
  • Сборник задач по математике для поступающих во ВТУЗы, ред. Сканави.
  • Задачи вступительных экзаменов по математике Нестеренко, Олейник, Поташов.
  • Краткое описание: — I. Блочное изучение теории и первичное закрепление. — 5 ч. 1) определения, элементы тела вращения; 2) виды сечений тела вращения; 3) касательные плоскости к телу вращения; 4) комбинации многогранников и тел вращения. II. Зачёт по теории. — 1 ч. III. Уроки углубления знаний и выработки навыкоа. — 5 ч. IV. Зачёт – практикум. — 1 ч. V. Контрольная работа. — 1 ч.

    Ц и л и н д р.

    Цилиндр определяется, как фигура, которую можно получить, вращая прямоугольник вокруг одной из его сторон.

    Цилиндром ( круговым ) называетсятело, которое состоит из двух кругов, совмещаемых параллельным переносом, не лежащих в одной плоскости, и всех отрезков, соединяющих соответствующие точки этих кругов.

    Элементы цилиндра.

    1.Круги с центрами О и О — основания

    ( нижнее и верхнее ).

    2.R– радиус цилиндра – радиус основания.

    3.Отрезок АА1 — образующая ( АА1 = ℓ = L) .

    АА1, ВВ1 — отрезки, соединяющие соответствующие точки окружностей кругов – образующие цилиндра.

    4. Если АА1 ^( β ) — цилиндр называется прямым.

    5. Н – высота цилиндра ( Н = L) – перпендикуляр, опущенный из любой точки одного основания цилиндра на плоскость другого его основания.

    6. Ось цилиндра ( ОО1 ) – прямая, которая проходит через центры оснований, параллельно образующим, ОО1 — ось вращения, точка F( середина отрезка ОО1 ) – центр симметрии.

    7. Осевое сечение – сечение цилиндра, — прямоугольник АВСД. АС – диагональ осевого сечения.

    8. Касательная плоскость: перпендикулярна осевому сечению, проведена через данную образующую АВ.

    9. Плоскость, перпендикулярная оси цилиндра, пересекает его боковую поверхность по окружности, равной окружности основания ( рис. 437 учебника ).

    10. Площадь боковой поверхности цилиндра :

    Sбок. = 2ПRH= 2ПRL; площадь развёртки — прямоугольник.

    Площадь полной поверхности цилиндра:

    Sполн. = Sбок. + 2Sосн.

    Sполн = 2ПR + Sбок = 2ПR+ 2ПRL= 2ПR( L+ R); площадь его развёртки -прямоугольник и два круга.

    Призма, вписанная в цилиндр. Призма, описанная около цилиндра.

    Призмой, вписанной в цилиндр, Призмой, описанной около цилиндра,

    называется такая призма, у которой называется призма, у которой

    плоскостями оснований являются плоскостями оснований являются

    плоскости оснований цилиндра, а плоскости оснований цилиндра, а

    боковыми рёбрами – образующие боковые грани касаются цилиндра

    цилиндра ( рис. 438 учебника ). ( рис. 441 учебника ).

    К о н у с.

    Конусможет быть получен при вращении прямоугольного треугольника вокруг одного из его катетов.

    Конусом( прямым, круговым ) называется тело,

    которое состоит из круга, точки, не лежащей в плоскости этого круга, и всех отрезков соединяющих вершину конуса с точками основания.

    ЭЛЕМЕНТЫ КОНУСА.

    1.Круг с центром О – основание конуса. Sосн.= ПR2.

    2. Отрезок ОА = R– Радиус основания, радиус конуса; диаметр BC= 2R.

    3. Отрезок SO= H– высота конуса. SO^a; SO– ось.

    4. Отрезок SA= SB= L- образующая. Все образующие равны и пересекаются в точке S. S– вершина конуса.

    5. Конус прямой, если Н, т.е. SO^a.

  • O– радиус).

    (Шаром называют часть пространства, ограниченную сферой).

    Шар получаетсяпри вращении полукруга вокруг его диаметра как оси.

    Элементы шара.

  • Центр – точка, от которой до поверхности шара – R.
  • Граница шара – сфера или шаровая поверхность.
  • Диаметр – отрезок, который соединяет две точки шара.
  • Концы диаметра – диаметрально противоположные точки шара.

    Сечение шара.

    I.Т.20.3.Всякое сечение шара есть круг. Центр этого круга есть основание

    перпендикуляра, опущенного из центра шара на секущую плоскость.

    Доказательство:

    1. a- секущая плоскость. Опустим ОО1 ^a.

    Х – произвольная точка шара.

    ОХ≤R.

    2. Теорема Пифагора ОХ2=ОО2+О1Х2;

    О1Х2=ОХ2-ОО12; О1Х=

    , т.е.

    любая точка хєaнаходится от данной точки О1 на расстоянии не большем

    , в сечении – круг с центром в т.О1.

    3. Обратно: х- любая точка круга є шару сечение есть круг с центром в т.О1. ЧТД.

    Выводы:

    I. R1=

    — радиус сечения.

    R1– радиус сечения. R– радиус шара.

    ОО1– расстояние от центра шара до секущей плоскости (до центра круга).

    II. Плоскости, равноудалённые от центра шара, пересекают его по равным кругам.

    II.Диаметральная плоскость – проходит через центр шара.

    a- диаметральная плоскость.

    Сечение диаметральной плоскостью называется

    большим кругом.

    Т. 20.4. Любая диаметрическая плоскость является

    плоскостью симметрии шара.

    Центр шара является его центром симметрии.

    Доказательство:

    1.a- диаметрическая плоскость.

    c- произвольная точка шара.

    Построим SaX'. ХХ'^a. АХ=АХ'(свойства симметрии).

    2. DОХА = DОХ1А– по двум катетам.

    (ОА – общая ХА = Х'А– по построению).

    Идея:берём точку шара, 3. ОХ=ОХ', т.к. ОХ ≤ R,то ОХ'≤ RÞХÎшару, т.о.

    строим ей симметричную a- плоскость симметрии.

    и доказываем, что она тоже 4. Пусть S0= Х²,тогда ОХ²= ОХ ≤ RÞХ²Îшару ÞО -

    принадлежит шару. центр симметрии. ЧТД.

    III.Касательная плоскость – проходит через точку шаровой поверхности перпендикулярно радиусу.

    Т.20.5. Касательная плоскость имеет с шаром только одну общую точку – точку касания.

    Доказательство:

    1. a- плоскость касания.

    А – точка касания. "Х Îa, Х ¹А.

    Х – произведение точек.

    2. ОА ^a, ОА = R(кратчайшее расстояние до a.

    3. ОХ >ОА, ОХ >RÞХ Ïшару.

    4. Прямая, проходящая через точку А касания ^-но радиусу, называется касательной прямой.

    Т.20.6. Через любую точку шаровой поверхности можно провести бесконечно много касательных, причём все они лежат в плоскости касания.

    Доказательство:Касательная плоскость перпендикулярна радиусу.

    Из этого следует "ℓ : АÎℓ, ℓ ^R.

    С ф е р а.

    Сферой называетсямножество точек пространства , удалённых от данной точки (центра сферы) на данное расстояние R>О (радиус сферы).

    Сферой называютфигуру, вращения полуокружности вокруг её диаметра.

    Сферой называется шаровая поверхность.

    d2 = (x – a)2 + (y – b)2 + (z – c)2

    R2 = (x – a)2 + (y – b)2 + (z – c)2

    (a, b, c) – координаты центра сферы.

    Если центр лежит в (о, о, о).

    R2 = x2 + y2 + z2/

    Т.20.6. Линия пересечения двух сфер есть окружность.

    Сф1 R12= (х – а)2 + у2 + z2 (1)

    Cф2 R22= (х – b)2 + у2 + z2 (2)

    Точки пространства, которые принадлежат обоим сферам являются решения обоих уравнений.

    Вычитаем (1) и (2).

    R12- R22= (х – а)2 — (х – b)2

    R12 — R22= x2 – 2ax + a2 – x2 + 2bx – b2 = 2x (b – a) + a2 – b2

    2(b– a)x= R12– R22– a2+ b2 (3)

    сравнение с уравнениями плоскости.

    Ах + Ву + Сz+ d= O.

    А = 2(b– a)

    B= O d= — (R12– R22– a2+ b2)

    C= O

    Таким образом получили уравнение плоскости, параллельной плоскости Y .

    Пересечение сфер совпадает с пересечением плоскости, заданной уравнением (3).

    Пересечение плоскостью шара есть круг, сферы – окружность ( Т. 19.4 ), что и т.д.

    Площадь поверхности сферы S=4 ПR2..

    З А Ч Ё Т — П Р А К Т И К У М.

    КАРТОЧКА 1.

  • Сформулируйте определение цилиндра. Докажите теорему о пересечении цилиндра плоскостью, перпендикулярной его оси.
  • Высота конуса равна 10 см, угол между вы сотой и образующей конуса равен 45о. Найдите площадь сечения конуса плоскостью, проведённой через две образующие, угол между которыми 30о.
  • Радиус шара равен R. Найдите площадь диагонального сечения вписанного куба.
  • КАРТОЧКА 2.

  • Сформулируйте определение конуса. Докажите теорему о пересечении конуса плоскостью, перпендикулярной его оси.
  • Радиус шара равен 12 см. Через конец радиуса проведена плоскость под углом 45о к не. Найдите площадь сечения.
  • Ребро куба равно а. Найдите площадь осевого сечения вписанного цилиндра.
  • КАРТОЧКА 3.

  • Сформулируйте определение шара. Докажите теорему о сечении шара плоскостью.
  • Сечение цилиндра плоскостью, параллельно оси, отсекает от окружности основания дугу в 120о. Найдите площадь сечения, если высота цилиндра равна
  • 7 см, а расстояние между осью цилиндра и секущей плоскостью равно 2 см.

    3. Образующая конуса равна 13 см. В конус вписана пирамида, основанием которой

    служит прямоугольный треугольник с катетами 6 см и 8 см. Найдите высоту

    пирамиды.

    КАРТОЧКА 4

    1. Докажите свойство диаметральной плоскости шара

    2. Диагональ осевого сечения равностороннего цилиндра равна 8 см. Найдите

    площадь его основания.

    3. Образующая конуса равна 4 см и наклонена к плоскости основания под углом 60о.

    Найдите боковую поверхность вписанной правильной треугольной пирамиды.

    КАРТОЧКА 5.

  • Сформулируйте определение касательной плоскости к сфере. Докажите свойство
  • касательной плоскости.

  • Радиусы оснований усечённого конуса 6 и 2 см, образующая наклонена к
  • основанию под углом 60о. Найдите высоту и образующую конуса.

    3. Площадь осевого сечения равностороннего цилиндра равна 16 см2. Найдите боковую поверхность вписанной правильной шестиугольной призмы.

    КАРТОЧКА 6.

    1. Докажите свойство касательных прямых, проведённых к сфере в произвольной её

    точке.

    2.Каждое ребро правильной треугольной призмы равно а. Найдите площадь

    осевого сечения вписанного цилиндра.

  • Через вершину конуса и хорду основания, стягивающую дугу в 60о,проведено сечение, составляющее с плоскостью основания угол в 45о.Найдите площадь сечения, если радиус основания равен 4 см.
  • Файлы: Т Е Л А В Р А Щ Е Н И Я.doc
    Размер файла: 516608 байт.

    ( план – конспект урока 1 класс 5 класс. 6 класс 7 класс 8 класс 9 класс 10 класс Английский язык Литературное чтение Математика Музыка ОБЖ Окружающий мир Оренбургская область Физика ЦОР алгебра биология викторина внеклассное мероприятие география геометрия здоровье игра информатика история классный час конкурс конспект урока краеведение кроссворд литература начальная школа обществознание презентация программа проект рабочая программа русский язык тест технология урок химия экология