Автор конспекта:
Автор(ы): — Дужан Лариса Александровна

Место работы, должность: — ТМК ОУ «Усть-Портовская СОШ-И», учитель математики

Регион: — Красноярский край

Характеристики урока (занятия) Уровень образования: — основное общее образование

Целевая аудитория: — Учащийся (студент)

Класс(ы): — 9 класс

Предмет(ы): — Алгебра

Цель урока: —

а) познакомить учащихся с понятием геометрической прогрессии, вывод формул n-го члена геометрической прогрессии и суммы п-ервых членов геометрической прогрессии;

б) развивать навыки самоконтроля, логического мышления, учить обосновывать свои действия.

Тип урока: — Урок изучения и первичного закрепления новых знаний

Краткое описание: — I. Устный опрос. II.Объяснение нового материала.III.Закрепление изученного. IV.Подведение итогов.

Ход урока.

I. Устный опрос.

По мере ответов на вопросы заполняется половина таблицы, вторая заполняется в процессе урока.

Арифметическая прогрессия

ческая прогрессия

Геометрическая прогрессия

(аn): а1,а2, а3 … , аn

(bn): b1, Ь2,Ь3 … bn

an+1 = an + d

bn+1 = bn • q(b1≠0, q≠0)

d = an+1-an

q = bn+1 / bn

a n = a1+ d(n-1)

bn = b1 • qn-1

an

b2n = bn+1 • bn-1

II.Объяснение нового материала.

а) Выпишите последовательности соответствующие условию задач:

1) Имеется радиоактивное вещество массой 256 г, вес которого за сутки уменьшается вдвое. Какова станет масса вещества на вторые сутки? на третьи сутки?

256; 128; 64; 32 …

Как получается второй член последовательности? (Деление предыдущего на 2 или умножением на ½).

В

2) В △ABCпроведем среднюю линию A1C1.

В △A1BC1провели среднюю линию А2С2.

В △А2ВС2 провели среднюю линию А3С3.

Найти площадь △А3ВС3, если площадь △ABC=

768 см2.

(Делением предыдущего члена на 4 или умножением на¼)

3) Срочный вклад, положенный в сберегательный банк, ежегодно увеличивается на 5%. Каким станет вклад через 4 года, если вначале был 1000руб.?

1000; 1050; 1102,5; 1157…

(Умножением предыдущего на 1,05)

4) Бактерия за 1 сек. делится на 3. Сколько бактерий будет в пробирке через 5 сек.?

1; 3; 9; 27; 81 …

(Умножением предыдущего на 3)

Выписанные последовательности называются геометрической прогрессией. Каким образом образовались члены данных последовательностей? Попробуйте дать определение геометрической прогрессии.

б) bn+1= bn• q, где q- некоторое число,

q- называется знаменателем геометрической прогрессии.

Как найти знаменатель геометрической прогрессии?

q= bn+1/bn

Контрольные вопросы:

Найти знаменатель геометрической прогрессии:
а) 512; 256; 128; 64 … (q= 1/2)

б)Ö3; 3; ЗÖ3; 9; 9Ö3 (q= Ö3)

в) 5; -5; 5; -5 … (q= -l)

г) -2; -6; -18; -54 … (q= 3)

д)1/3; 1/9; 1/24; 1/72 … ( q= 1/3 )

е) 2; 2; 2; 2 … (q=l)

Какие могут быть геометрические прогрессии.

в) По аналогии с арифметической прогрессией вывести формулу п-го члена для геометрической прогрессии.

b1, b2, b3 … b2= b1×q b3=b2×q= b1×q2b4=b3×q= b1×q3 …

Вывод: bn=b1×qn-1

Контрольные вопросы:

bn- геометрическая прогрессия b1- 3 , q= 2

Найти b3, b4, bk

b3=b1×q2=-3×22=-12

b4= b1×q3= -3 -23=-24

bk = b1×qk-1 = -3×2k-1

b1 = -5, q = 2 b3=1 , b4= 0,5

b2 = -10

b3=-20 q=b3/b4= 0,5/1 =0,5

b4=-40 b3=b1×q2

b5=-80 b1=b3/q2= 1/0,25 = 4

b6=-160 4; 2; 1; 0,5;

г) Почему геометрическая прогрессия получила такое название? Сделайте предположение по аналогии с арифметической прогрессией.

Найдите среднее геометрическое чисел
4 и 9

= 6

4; 6; 9 …

Проверьте, образует ли данная тройка геометрическую прогрессию?

(Да; 6/4 = 3/2; 9/6 =3/2)…

Вывод: Любой член геометрической прогрессии начинается со второго, является средним геометрическим последующего и предыдущего.

Докажите это bn=bn+1• bn-1

по определению геометрической прогрессии.

b2n=bn+1• bn-1

Сформулируйте обратное утверждение (попробуйте доказать дома).

д) В старинной книге по арифметике Магницкого приведена следующая забавная задача.

Некто продал лошадь за 156 р. Но покупатель, покупая лошадь, раздумал ее покупать и возвратил продавцу. Продавец предложил другие условия: Если, по-твоему, цена лошади высока, то купи только ее подковные гвозди, лошадь же тогда получишь в придачу бесплатно. Гвоздей в каждой подкове 6. За первый гвоздь дай мне всего ¼коп., за второй½коп, за третий 1 коп. и т.д. Покупатель соблазнился на такие условия. На сколько покупатель проторговался? Составить последовательность:

¼, ½, 1,2,22…221

Попробуем вывести формулу сумму nпервых членов геометрической прогрессии.

Пусть: Sn= b1+ b1q+ b1q2+ … b1qnn-1 (1)

Sn ×q = b1q + b1q2 + b1q3 + … b1qn (2)

Вычтем из (2) -(1)

Sn×q-Sn=b1qn –b1

Sn(q-1) = b1(qn-1)

Если q-1, то Sn= n×b1, т.к. эта последовательность постоянная.

Контрольные вопросы:

a) b1= ¼ q=2, n=24

Таким образом, покупатель проторговался на огромную сумму.

б)b1=1, q=2, n=64

Масса такого количества зёрен больше триллиона тонн.

Найдите сумму шести первых членов геометрической последовательности:

а)3; -6; … q=-2 3 ((-2)6-1) 3 (64-1)

S6= ———.. —- = — ————- = -63

-2-1 -3

б)54; 36 … q=2/3 54 ((2/3)6 — 1) 7

S6= ——————— = -147-

-2/3-1 9

в)-32; -16 … q=l/2 -32 ((1/2)6 — 1) 32(-63/64)

S6= ———.. ———- = ——— ——— = -63

1/2-1 -1/2

г)1; -1/2 …

Подведение итогов урока.

Домашнее задание.

№390 (б), №392 (а,б), №396 (б), №400, №410 (а), №414 (а), №416.