Автор конспекта:
Автор(ы): — Андреева Юлия Алексеевна
Место работы, должность: —
МБОУ СОШ № 105, учитель информатики
Регион: — Нижегородская область
Характеристика конспекта:
Уровни образования: — основное общее образование
Класс(ы): — 9 класс
Класс(ы): — 10 класс
Класс(ы): — 11 класс
Предмет(ы): — Информатика и ИКТ
Целевая аудитория: — Учащийся (студент)
Целевая аудитория: — Учитель (преподаватель)
Тип ресурса: — методическая разработка
Краткое описание ресурса: —
Методическая разработка темы Арифметические операции в системах счисления с основанием Р (теория, разбор задач)
АРИФМЕТИЧЕСКИЕ ОПЕРАЦИИ В P-ИЧНЫХ СИСТЕМАХ СЧИСЛЕНИЯ
ВВЕДЕНИЕ
Тема «Системы счисления» сегодня рассматривается в курсе информатики в 9 и 10 классах. В 9 классе она изучается в разделе «Кодирование числовой информации» и нужна преимущественно для подготовки к успешной сдачи экзамена в форме государственной итоговой аттестации (ГИА); в 10 классе – является элементом повторения, закрепления и углубления, подготовки к сдаче единого государственного экзамена (ЕГЭ) в 11 классе.
Тема «Системы счисления» имеет прямое отношение к математической теории чисел. Но в школьном курсе математики эта тема, как правило, не изучается. Необходимость изучения темы в курсе информатики связана с тем, что числа в памяти компьютера представлены в двоичной системе счисления, а для внешнего представления содержимого памяти, адресов памяти используют шестнадцатеричную или восьмеричную системы счисления. Данная тема является смежной темой с математикой и вносит вклад в фундаментальное математическое образование школьников.
Как правило, при изучении темы «Системы счисления» рассматриваются следующие вопросы:
- позиционные и непозиционные системы счисления;
- основные понятия позиционных систем счисления: основание, алфавит;
- формы представления чисел в позиционных системах;
- перевод чисел из одной системы счисления в другую;
- особенности арифметики в позиционных системах счисления.
Остановимся подробнее на последнем вопросе «Арифметические операции в Р-ичных системах счисления» и рассмотрим его как тему отдельного урока в 10 классе.
Цель урока – развитие логического (математического) мышления учащихся в области информатики и расширение навыков реализации теоретических знаний в практической деятельности.
Задачи:
- закрепление знаний, умений, навыков работы с позиционными системами счисления (перевода чисел из одной системы счисления в другую);
- знакомство с правилами арифметических операций в Р-ичных системах счисления;
- реализация теоретических знаний в практической деятельности;
- развитие логического мышления посредством решения задач;
- выполнение оперативных и рациональных действий, заданных условиями.
При изучении материала следует учитывать межпредметную связь с математикой (темы «Выполнение арифметических операций»; «Запись натуральных чисел»; «Степень с натуральным, отрицательным, нулевым показателем»), а также внутридисциплинарную связь с темами «Основы алгоритмизации и программирования», «Архитектура ЭВМ», «Кодирование информации».
ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ
Системы счисления: основные понятия
Современный человек в повседневной жизни постоянно сталкивается с числами: мы запоминаем номера автобусов и телефонов, в магазине подсчитываем стоимость покупок, ведём свой семейный бюджет в рублях и копейках (сотых долях рубля) и т.д. Сегодня числа, цифры с нами везде. А что знал человек о числах несколько тысяч лет назад? Вопрос непростой, но очень интересный. Историки доказали, что и пять тысяч лет назад люди могли записывать числа и производить над ними арифметические действия. Конечно, принципы записи были совсем не такими, как сейчас. Однако уже тогда число изображалось с помощью одного или нескольких символов.
Эти символы, участвующие в записи числа, в математике и информатике принять называть цифрами.
Но что же мы понимаем под словом «число»?
Первоначально понятие отвлечённого числа отсутствовало, число было «привязано» к тем конкретным предметам, которые пересчитывали. Отвлечённое понятие натурального числа появляется вместе с развитием письменности. Дробные же числа изобрели тогда, когда возникла необходимость производить измерения. Измерение, как известно, это сравнение с другой величиной того же рода, выбираемой в качестве эталона. Эталон называется ещё единицей измерения. Понятно, что единица измерения не всегда укладывалась целое число раз в измеряемой величине. Отсюда и возникла практическая потребность ввести более «мелкие» числа, чем натуральные. Дальнейшее развитие понятия числа было обусловлено уже развитием математики.
Понятие числа – фундаментальное понятие как математики, так и информатики.
Сегодня, в XXI веке, для записи чисел человечество использует в основном десятичную систему счисления. А что такое система счисления?
Система счисления – это способ записи (изображения) чисел.
Алфавит- конечный набор (множество) символов.
Различные системы счисления, которые существовали раньше и которые используются в настоящее время, делятся на две группы: позиционные и непозиционные.
Наиболее совершенными являются позиционные системы счисления, т.е. системы записи чисел, в которых вклад каждой цифры в величину числа зависит от её положения (позиции) в последовательности цифр, изображающей число. Например, наша привычная десятичная система является позиционной.
Системы счисления, в которых каждой цифре соответствует величина, не зависящая от её места в записи числа, называются непозиционными.
Позиционные системы счисления – результат длительного исторического развития непозиционных систем счисления.
Позиционную систему счисления с основанием P принято называть P-ичной. Примерами позиционной системы счисления могут служить двоичная, троичная, восьмеричная, шестнадцатеричная и т.д. (табл. 1).
Таблица SEQ Таблица \* ARABIC 1. Примеры позиционных систем счисления
Позиционная
система счисления
Основание
Алфавит
Двоичная
2
0, 1
Троичная
3
0, 1, 2
Восьмеричная
8
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7
Десятичная
10
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9
Шестнадцатеричная
16
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A(10), B(11), C(12), D(13), E(14), F(15)
—
Позиция цифры в числе называется разрядом. Для целых чисел разряды нумеруются справа налево, началом отсчета является 0.
Арифметические операции в Р-ичных системах счисления
1.Сложение
Для двоичной системы счисления действуют правила сложения:
0
+
0
=
0
0
+
1
=
1
1
+
0
=
1
1
+
1
=
1
—
При сложении чисел в произвольной позиционной системе счисления с основанием Р в каждом разряде производится сложение цифр слагаемых и цифры, переносимой из соседнего младшего разряда, если она имеется. При этом необходимо учитывать, что если при сложении чисел получилось число большее или равное Р, то его представляют в виде Рk+b, где k — частное, а b — остаток от деления полученного числа на основание системы счисления. Число b является количеством единиц в данном разряде, а число к — количеством единиц переноса в следующий разряд.
Для выполнения этой операции используют таблицы сложения. По вертикали и по горизонтали откладываются числа алфавита. На пересечении строки и столбца получается результат операции.
Примеры:
2.Вычитание
Для двоичной системы счисления действуют правила вычитания:
0
–
0
=
0
0
–
1
=
11
1
–
0
=
1
1
–
1
=
0
—
При вычитании чисел в Р-ичной системе счисления цифры вычитаются поразрядно. Если в рассматриваемом разряде необходимо от меньшего числа отнять большее, то занимается единица следующего (большего) разряда. Занимаемая единица равна Рединицам этого разряда (аналогично, когда занимают единицу в десятичной системе счисления, то занимаемая единица равна 10).
Для вычитания также используется таблица сложения. Предположим, нужно вычесть цифру bиз числа a. Алгоритм действий в таком случае:
Эта схема работает, если a≥b. В противном случае, следует занять единицу старшего разряда.
Примеры:
3.Умножение
Для двоичной системы счисления действуют правила умножения:
0
∙
0
=
0
0
∙
1
=
0
1
∙
0
=
0
1
∙
1
=
1
—
При умножении чисел в Р-ичной системе счисления каждая цифра второго множителя умножается последовательно на цифру каждого из разрядов первого множителя (так же, как и в десятичной системе счисления).
При этом необходимо учитывать, что если при сложении чисел получилось число большее или равное Р, то его представляют в виде Рk+b, где k — частное, а b — остаток от деления полученного числа на основание системы счисления. Число b записывают в единицы данного разряда, а число k запоминают и добавляют его к результату произведения в следующем разряде.
Полученные результаты умножения складывают и отделяют количество знаков после запятой, равное сумме знаков после запятой у сомножителей.
По сути, это то же самое умножение столбиком, которое применяется в десятичной системе счисления. Единственное отличие – для проведения этой операции в P-ичной системе необходимо использовать таблицы сложения для этой P-ичной системы счисления.
Примеры:
4.Деление
Для двоичной системы счисления операция деления выполняется по алгоритму, подобному алгоритму выполнения операции деления в десятичной системе счисления.
Деление чисел в Р-ичной системе счисления производится так же, как и десятичных чисел, при этом используются правила умножения, сложения и вычитания чисел в Р-ичной системе счисления. Делить следует также «столбиком», однако, как и в случае умножения, использовать таблицы умножения и сложения для P-ичной системы счисления.
Примеры:
В качестве альтернативы можно выделить и другой подход. Перед началом выполнения операций можно перевести все слагаемые в десятичную систему счисления, выполнить в привычной форме необходимые расчеты, а результат перевести обратно в системы с основанием P.
Таблицы сложения и умножения
(для двоичной и восьмеричной систем счисления)
Таблица SEQ Таблица \* ARABIC 2. Таблица сложения в двоичной системе счисления
+
0
1
0
0
1
1
1
10
—
Таблица SEQ Таблица \* ARABIC 3. Таблица умножения в двоичной системе счисления
*
0
1
0
0
0
1
0
1
—
Таблица 4. Таблица сложения в восьмеричной системе счисления
+
0
1
2
3
4
5
6
7
0
0
1
2
3
4
5
6
7
1
1
2
3
4
5
6
7
10
2
2
3
4
5
6
7
10
11
3
3
4
5
6
7
10
11
12
4
4
5
6
7
10
11
12
13
5
5
6
7
10
11
12
13
14
6
6
7
10
11
12
13
14
15
7
7
10
11
12
13
14
15
16
—
Таблица 5. Таблица умножения в восьмеричной системе счисления
*
0
1
2
3
4
5
6
7
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
1
2
3
4
5
6
7
2
0
2
4
6
10
12
14
16
3
0
3
6
11
14
17
22
25
4
0
4
10
14
20
24
30
34
5
0
5
12
17
24
31
36
43
6
0
6
14
22
30
36
44
52
7
0
7
16
25
34
43
52
61
—
Составить таблицу умножения или сложения для любого основания можно самостоятельно. Для этого нужно:
ПРАКТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ
Практическая часть по исследуемой теме, как правило, представлена задачами на выполнение арифметических операций в позиционных системах счисления с различными основаниями. Такие задачи встречаются в вариантах ГИА, ЕГЭ. В них предлагается сложить 2 или 3 числа, заданных в родственных системах счисления.
Задачи можно решать, используя перевод исходных чисел в десятичную систему счисления. Однако в некоторых случаях можно использовать перевод и сложение чисел в двоичной системе счисления.
Наиболее простыми являются задания, в которых варианты ответов заданы в двоичной форме, так как решение в этом случае можно свести к сложению двоичных чисел и сразу получить нужный ответ. Некоторые задания требуют приведения и исходных данных, и вариантов ответа либо к двоичной, либо к десятичной системе счисления.
Рассмотрим решение некоторых из них.
Задача 1.
Вычислить сумму чисел X и Y, если X=10101112, Y=1528. Результат представить в двоичном виде.
Решение.
Поскольку результат нужно представить в двоичной системе счисления, наиболее удобно и быстро решить данную задачу путем перевода всех чисел в двоичную систему счисления.
Число X уже представлено в двоичной системе счисления: X=10101112. Переведем число Y из восьмеричной в двоичную систему счисления, разбив его на триады:
1
5
2
001
101
010
—
Получили Y=1528=11010102.
Сложим двоичные числа X и Y столбиком:
+
1
0
1
0
1
1
12
1
1
0
1
0
1
02
1
1
0
0
0
0
0
12
—
Результатом решения задачи является число 110000012.
Ответ: 110000012.
Задача 2.
Чему равна сумма чисел 528 и А916 в двоичной системе счисления?
Задачу можно решить двумя способами.
Способ 1.
Переведем исходные числа в десятичную систему счисления путем разложения по степеням:
528 = 5*81 + 2*80 = 40 + 2 = 4210,
А916 = 10*161 + 9*160 = 160 + 9 = 16910.
Находим сумму десятичных чисел: 4210 + 16910 = 21110.
Переводим полученное десятичное число в двоичную систему счисления путем деления и выделения остатков:
–
211
2
210
105
2
1
104
52
2
1
52
26
2
0
26
13
2
0
12
6
2
1
6
3
2
0
2
1
1
—
21110 = 110100112.
Ответ: 110100112.
Способ 2.
Переведем исходные числа в двоичную систему счисления путем разбиения на триады и тетрады:
5
2
А
9
101
010
1010
1001
—
528 = 1010102,
А916 = 101010012.
Сложим полученные двоичные числа столбиком:
+
1
0
1
0
1
02
1
0
1
0
1
0
0
12
1
1
0
1
0
0
1
12
—
В результате сложения получили двоичное число 110100112.
Ответ: 110100112.
Задача 3.
Из разности двух восьмеричных чисел 100100 и 61556 вычесть сумму двух шестнадцатеричных чисел FADи CDC, а затем для числа, полученного в результате, выяснить, в какой системе счисления это число будет иметь вид 1001001?
Решение.
Найдем разность восьмеричных чисел:
1001008 – 615568 = 163228
–
1
0
0
1
0
08
6
1
5
5
68
1
6
3
2
28
—
Найдем сумму шестнадцатеричных чисел:
FAD16 + CDC16 = 1C8916
+
F
A
D16
C
D
C16
1
С
8
916
—
Для выполнения вычитания переведем полученное шестнадцатеричное число в восьмеричную систему счисления с помощью триадно-тетрадного метода:
1
С
8
9
(16)
0001
1100
1000
1001
(2)
1
110
010
001
001
(2)
1
6
2
1
1
(8)
—
Найдем разность восьмеричных чисел:
168 – 615568 = 163228
–
1
6
3
2
28
1
6
2
1
18
1
1
18
—
Определим основание системы счисления, в которой восьмеричное число 111 будет иметь вид 1001001 методом перебора. По значению чисел примем гипотезу о двоичной системе счисления. Разобьем восьмеричное число 111 на триады:
1
1
1
001
001
001
—
Получаем, что 1118 = 10010012, что и требовалось выяснить.
Ответ: 1118 = 10010012.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Тема, рассмотренная в данной работе, посвящена ключевому понятию математики, а вместе с тем и информатики, – числу, а также системам счисления – способам записи чисел в виде, удобном для прочтения и выполнения арифметических операций.
С понятием «система счисления» учащиеся впервые встречаются в 5 классе основной школы, когда знакомятся с десятичной системой счисления, и в дальнейшем по школьной программе более подробно изучается именно эта система счисления (арифметические действия, признаки делимости).
Учащиеся вновь обращаются к этой теме и встречаются с понятием «системы счисления» при изучении базового курса информатики. К сожалению, на ее изучение отводится мало часов, и по программе рекомендуется рассматривать те системы счисления, которые используются в компьютере (двоичную, восьмеричную и шестнадцатеричную). На арифметику в этих системах счисления, включая арифметические действия, признаки делимости, разнообразные текстовые и игровые задачи, времени практически не остается.
Однако, работая на компьютере, учащиеся видят «внешние» результаты этой работы, и вопрос, как и что происходит внутри компьютера, всегда их интересует.
Содержание темы рассматривает вопросы истории числа, системы счисления с различными основаниями, арифметические операции и признаки делимости в этих системах, смешанные системы счисления, перевод числа, включая дробные числа, из одной системы счисления в другие.
Задачи, разбираемые в теме, интересны и часто непросты в решении, что позволяет повысить учебную мотивацию учащихся, и дает им возможность проверить свои способности к математике и информатике.
По мере изучения темы появляются следующие учебные эффекты:
- расширяются знания учащихся о числе, способах его
записи; - складывается представление о многообразии систем счисления, их
классификации и истории возникновения; - формируются навыки перевода чисел из одной позиционной системы счисления в другую и выполнения арифметических операций в них;
- создаются условия для развития у учащихся интереса к изучению математики и информатики;
- раскрывается умение самостоятельно приобретать и применять знания;
- развиваются логическое и алгоритмическое мышление, творческие способности и коммуникативные навыки.
После изучения материала учащиеся овладевают следующими знаниями, умениями и навыками:
- умеют представлять числа и выполнять арифметические действия в различных системах счисления;
- умеют устанавливать связь между системами счисления;
- умеют осуществлять перевод чисел из одной системы счисления в другую;
- умеют находить оптимальный и рациональный способ решения поставленной задачи.
Важным результатом изучения темы «Арифметические операции в Р-ичных системах счисления» становится углубление имеющихся знаний по предмету, формирование основы научного мировоззрения в области информатики и развитие интереса к информатике, как науке.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
Файлы: Создание базы данных.ppt
Размер файла: 163328 байт.