Автор конспекта:
Автор(ы): — Пискун В.В.
Место работы, должность: —
МБОУ — лицей №32 г.Белгорода
Регион: — Белгородская область
Характеристика конспекта:
Уровни образования: — основное общее образование
Уровни образования: — среднее (полное) общее образование
Класс(ы): — 7 класс
Класс(ы): — 8 класс
Класс(ы): — 9 класс
Класс(ы): — 10 класс
Класс(ы): — 11 класс
Предмет(ы): — Алгебра
Предмет(ы): — Математика
Целевая аудитория: — Учащийся (студент)
Целевая аудитория: — Учитель (преподаватель)
Тип ресурса: — дидактический материал
Краткое описание ресурса: —
Уравнения сами по себе представляют интерес для изучения, так как именно с их помощью на символическом языке записываются важнейшие задачи познания реальной действительности. Умение решать уравнения различных видов одно из основных требований, предъявляемых к выпускникам средней школы. Иррациональные уравнения встречаются достаточно часто и в вступительных работах в ВУЗы, и в текстах заданий ЕГЭ. Как показывает мой многолетний опыт работы в профильных классах в Белгородском лицее-интернате №25, для успешного выполнения заданий группы С недостаточно знать стандартные (предлагаемые в современных школьных учебниках) способы решения задач с радикалами. Поэтому в конце изучения темы Иррациональные уравнения и неравенства, я провожу урок-семинар Традиционные, нетрадиционные и оригинальные методы решения иррациональных уравнений и их систем. При подготовке к этому уроку учащимся предлагается дифференцированный (по трем уровням развития познавательной активности) набор задач:
Уравнения сами по себе представляют интерес для изучения, так как именно с их помощью на символическом языке записываются важнейшие задачи познания реальной действительности. Умение решать уравнения различных видов – одно из основных требований, предъявляемых к выпускникам средней школы. Иррациональные уравнения встречаются достаточно часто и в вступительных работах в ВУЗы, и в текстах заданий ЕГЭ. Как показывает мой многолетний опыт работы в профильных классах в Белгородском лицее-интернате №25, для успешного выполнения заданий группы С недостаточно знать стандартные (предлагаемые в современных школьных учебниках) способы решения задач с радикалами. Поэтому в конце изучения темы «Иррациональные уравнения и неравенства», я провожу урок-семинар «Традиционные, нетрадиционные и оригинальные методы решения иррациональных уравнений и их систем». При подготовке к этому уроку учащимся предлагается дифференцированный (по трем уровням развития познавательной активности) набор задач:
1 группа
Решить уравнения:
1. ;
2.
;
3.
;
4.
.
Решить систему уравнений
5. {
.
2 группа
Решить уравнения:
1.
;
2.
;
3.
;
4.
.
Решить систему уравнений
5. {
.
3 группа
Решить уравнения:
1.
;
2.
;
3.
;
4.
;
5.
.
На самом уроке мы с учащимися рассматриваем различные методы решения поставленных задач.
1метод. Метод подстановки.
№1. Решить уравнение:
.
Решение.
Введем новые переменные
,
, тогда
,
. Почленно сложим обе части уравнения:
. Получим системы уравнений:
{
{
{
Так как
, то
и
.
{
{
{
Возвращаемся к замене: {
Ответ:
2 метод. Метод использования области определения уравнения.
№2. Решить уравнение:
.
Решение.
Выпишем условия, при которых выражения, входящие в левую часть данного уравнения, имеют смысл:
{
; {
.
Система решений не имеет, поэтому и исходное уравнение не имеет решений.
Ответ: решений нет.
3 метод. Метод использования монотонности функции.
№3. Решить уравнение:
.
Решение.
Рассмотрим функцию
.
. Эта функция монотонно возрастает, как сумма возрастающих функций. Найдем подбором корень,
. В силу теоремы о корне, имеем, что он единственный.
Ответ:
.
4 метод. Метод мажорант.
№4. Решить уравнение:
.
Решение.
Так как левая часть уравнения неотрицательна, как сумма двух неотрицательных значений, то и правая часть неотрицательна.
;
.
Оценим левую часть уравнения:
,
, а значит,
. Оценим правую часть:
. Следовательно, левая часть исходного уравнения может быть равна правой части, только если обе части равны одновременно 3. Правая часть уравнения равна 3 только при
. Подставив это значение в левую часть, убеждаемся, что это и есть корень уравнения.
Ответ:
.
5 метод. Метод применения неравенства Коши.
Неравенство Коши. Пусть
. Тогда имеет место
,
где
. Причем равенство в неравенстве Коши достигается лишь в том случае, когда
.
№5. Решить уравнение:
.
Решение.
Сделаем несколько оценок с помощью неравенства Коши:
;
;
;
тогда
.
А значит равенство возможно только при
; отсюда
.
Ответ:
.
6 метод. Геометрический метод.
№6. Решить систему уравнений:
{
.
Решение.
Нетрудно убедиться, что x и y – положительны. Поскольку
,
то
и
- являются длинами соответственно катетов и гипотенузы некоторого прямоугольного треугольника. Тогда из первого уравнения системы следует, что площадь этого треугольника
, а периметр его из второго уравнения равен
. Тогда радиус вписанной в этот треугольник окружности равен
. С другой стороны, радиус вписанной в прямоугольный треугольник окружности равен
. Отсюда получаем
. Вычитая из второго уравнения системы полученное равенство, имеем
. Подставив полученное значение, например, во второе уравнение системы и решив стандартное иррациональное уравнение, находим
,
.
Ответ: (10;6); (10;8).
№7. Решить систему уравнений:
{
.
Решение.
Рассмотрим слагаемые второго уравнения.
.
Пусть это расстояние между точками М(x;y) и А(2;-1).
.
Пусть это расстояние между точками М(x;y) и В(10;5). Найдем расстояние между точками А и В.
АВ=
,
то есть второе уравнение системы – это АМ + ВМ = АВ,
, т.е.
и
. Составим уравнение прямой АВ, проходящей через точки А и В.
. {
{
.
Имеем:
или
. Получим новую систему:
{
{
Ответ: (6;2).
На мой взгляд, предлагаемая система упражнений будет полезна учителю, работающему в профильных классах физико-математического направления.
Литература.
Файлы: Методы решения уравнений.doc
Размер файла: 196608 байт.