Общие методы решения тригонометрических уравнений

Апр - 17 - 2014

Автор конспекта:
Автор(ы): — Оситко Валентина Викторовна

Место работы, должность: — МОУ «СОШ р. п. Духовницкое» учитель математики

Регион: — Саратовская область

Характеристики урока (занятия) Уровень образования: — среднее (полное) общее образование

Целевая аудитория: — Учащийся (студент)

Класс(ы): — 10 класс

Предмет(ы): — Математика

Цель урока: —

Образовательные:

— актуализировать знания учащихся по теме «Решение тригонометрических уравнений» и обеспечить их применение при решении задач вариантов ЕГЭ;

— рассмотреть общие подходы решения тригонометрических уравнений;

— закрепить навыки решения тригонометрических уравнений;

— познакомить с новыми способами решения тригонометрических уравнений.

Развивающие:

— содействовать развитию у учащихся мыслительных операций: умение анализировать, синтезировать, сравнивать;

— формировать и развивать общеучебные умения и навыки: обобщение, поиск способов решения;

— отрабатывать навыки самооценивания знаний и умений, выбора задания, соответствующего их уровню развития.

Воспитательные:

— вырабатывать внимание, самостоятельность при работе на уроке;

— способствовать формированию активности и настойчивости, максимальной работоспособности.

Тип урока: — Урок обобщения и систематизации знаний

Учащихся в классе (аудитории): — 27

Используемые учебники и учебные пособия: —

Зильберберг Н.И. «Алгебра и начала анализа в 10 классе» (для углубленного изучения математики) Псков, ПОИПКРО, 1994

Используемая методическая литература: —

1. Ананьев Ю.А., Дворянинов С.В., Неценко Ю. Н. «Экзаменационные задачи по алгебре и началам анализа за курс средней школы». Самара, СОИПКПРО, 1993

2. Блошкин Б.Ф. «Самостоятельные и контрольные работы по математике 9-10 классы». М., Просвещение 1969

3. Богомолов И.В., Сергиенко Л.Ю. «Сборник дидактических заданий по математике. М., Высшая школа, 1986

4. Зильберберг Н.И. «Алгебра и начала анализа в 10 классе» (для углубленного изучения математики) Псков, ПОИПКРО, 1994

5. Звавич Л.И., Шляпочник Л.Я. «Контрольные и проверочные работы по алгебре 10-11 классы» М., Дрофа, 2001

6. Ивлев Б.М. «Задачи повышенной трудности по алгебре и началам анализа». М., Просвещение, 1990

7. Ивлев Б.М., Саакян С.М., Шварцбурд С.И. «Дидактические материалы по алгебре и началам анализа. 10 класс». М., Просвещение, 1997

8. Кононов А.Я. «Устные занятия по математике в старших классах» М., Столетие, 1997

9. Мордкович А.Г. «Алгебра и начала анализа 10-11 класс» М., Мнемозина, 2009 г.

10. С.М.Никольский, М.К. Потапов, Н.Н. Решетников, А.В. Шевкин. Просвещение,2009г

11. Колмогоров А.Н. , Абрамов А. М., Дудницын Ю.П. «Алгебра и начала анализа 10-11» М., «Просвещение», 2009г.

Используемое оборудование: —

компьютер и мультимедийный проектор.

Используемые ЦОР: —

презентация к уроку

Краткое описание: — Урок обобщения и систематизации знаний по теме «Общие методы решения тригонометрических уравнений» разработан для учащихся 10 класса, изучающих предмет «Алгебра и начала анализа» по учебнику А.Н. Колмогорова. В разработке урока представлены различные способы решения тригонометрических уравнений: по известным алгоритмам, однородные тригонометрические уравнения, уравнения вида A sinx+В cosx = С, симметричных тригонометрических уравнений, путем разложения на множители и методом оценки левой и правой частей. Задания разбиты на блоки. После каждого блока заданий проводятся разноуровневые проверочные упражнения, задания которых учащиеся выбирают самостоятельно, учитывая свои знания, умения и навыки. Затем проводится проверка решений, и учащиеся сами выставляют себе оценку за каждый вид заданий. Использование на уроке информационно-коммуникационных технологий (презентация к уроку) способствует увеличению количества заданий рассматриваемых на уроке, позволяет сделать урок более насыщенным.

Министерство образования и науки Российской Федерации

Муниципальное общеобразовательное учреждение

«CОШ р. п.Духовницкое» Духовницкого р-на, Саратовской обл.

Методическая разработка урока

по алгебре и началам анализа

«Общие методы решения тригонометрических уравнений»

для учащихся 10 класса

Тип урока: урок обобщения и систематизации знаний

Выполнила учитель математики

МОУ « СОШ р. п. Духовницкое» Духовницкого р-на Саратовской обл.

Оситко Валентина Викторовна.

2011 год

Оглавление

1. Аннотация……………………………………………………. стр. 3

2. Пояснительная записка………………………………………. стр. 4

3. Сценарий учебного занятия………………………………….. стр.5

4. Ход урока …………………………………………………….. стр.6-11

5. Самоанализ…………………………………………………… стр.12

6. Список литературы………………………………………….. стр.13

Аннотация

Методическая разработка посвящена проблеме систематизации методов решения тригонометрических уравнений. Урок разработан для учащихся 10 класса общеобразовательной школы, но может использоваться и в 11 классе при подготовке учащихся к ЕГЭ.

На уроке используется презентация «Общие методы решения тригонометрических уравнений».

Предложенная работа может быть полезна для учителей математики при объяснении этой темы в 10 классе.

Пояснительная записка

Урок обобщения и систематизации знаний по теме «Общие методы решения тригонометрических уравнений» разработан для учащихся 10 класса, изучающих предмет «Алгебра и начала анализа» по учебнику А.Н. Колмогорова. В разработке урока представлены различные способы решения тригонометрических уравнений: по известным алгоритмам, однородные тригонометрические уравнения, уравнения вида Asinx+В cosx= С, симметричных тригонометрических уравнений, путем разложения на множители и методом оценки левой и правой частей. Задания разбиты на блоки. После каждого блока заданий проводятся разноуровневые проверочные упражнения, задания которых учащиеся выбирают самостоятельно, учитывая свои знания, умения и навыки. Затем проводится проверка решений, и учащиеся сами выставляют себе оценку за каждый вид заданий. Использование на уроке информационно-коммуникационных технологий (презентация к уроку) способствует увеличению количества заданий рассматриваемых на уроке, позволяет сделать урок более насыщенным.

Сценарий учебного занятия:

Структура урока:

1. Вводно-мотивационная часть.

1.1. Организационный момент.

1.2. Устная работа.

2. Основная часть урока.

2.1. Повторение (чередование фронтальной и индивидуальной форм работы с последующей проверкой задания).

2.2. Знакомство с новыми способами решения тригонометрических уравнений.

3. Рефлексивно-оценочная часть урока.

3.1. Обсуждение результатов индивидуальной работы.

3.2. Информация о домашнем задании.

3.3. Подведение итогов урока.

Цели урока:

Образовательные:

— рассмотреть общие подходы решения тригонометрических уравнений;

— закрепить навыки решения тригонометрических уравнений;

— познакомить с новыми способами решения тригонометрических уравнений.

Развивающие:

— формировать и развивать общеучебные умения и навыки: обобщение, поиск способов решения;

— отрабатывать навыки самооценивания знаний и умений, выбора задания, соответствующего их уровню развития.

Воспитательные:

— вырабатывать внимание, самостоятельность при работе на уроке;

— способствовать формированию активности и настойчивости, максимальной работоспособности.

Продолжительность урока: 2 часа

Тип урока: урок обобщения и систематизации знаний

Оборудование: компьютер и мультимедийный проектор.

Ход урока.

1. Вводно-мотивационная часть

1.1.Организационный момент.

Задачи этапа: обеспечить внешнюю обстановку для работы на уроке, психологически настроить учащихся к общению.

Содержание этапа:

1. Приветствие.

Учитель: Здравствуйте, садитесь! Сегодня мы проводим урок обобщения по теме «Общие методы решения тригонометрических уравнений». Задания по решению тригонометрических уравнений встречаются в вариантах ЕГЭ.

2. Проверка готовности учащихся к уроку.

Учитель: Ребята, кто сегодня отсутствует? Все готовы к уроку? Итак, внимание. Начинаем!

3. Озвучивание целей урока и плана его проведения.

Учитель: Тема нашегоурока – решение тригонометрических уравнений. Я думаю, вам будет интересно на уроке.

Цель урока сегодня — рассмотреть общие подходы решения тригонометрических уравнений; закрепить навыки и проверить умение решать тригонометрические уравнения, кроме того, познакомить с новыми способами решения некоторых известных тригонометрических уравнений.

В начале урока мы вспомним решение линейных и квадратных уравнений, основные формулы тригонометрии.

Далее работа будет чередоваться: мы повторим числовые значения тригонометрических функций, обратных тригонометрических функций, вспомним формулы решения простейших тригонометрических уравнений. Решим тригонометрические уравнения по известным алгоритмам, однородные тригонометрические уравнения, уравнения вида

Asinx+ В cosx = С. После каждого блока заданий проводим разноуровневые проверочные работы, задания которых вы будете выбирать самостоятельно, учитывая свои знания, умения и навыки. Проверяем решения, и вы выставляете себе оценку за каждый вид заданий.

После чего познакомимся с решением симметричных тригонометрических уравнений, решением тригонометрических уравнений путем разложения на множители и методом оценки левой и правой частей. Обсудим полученные результаты работы на уроке, оценим индивидуальную работу. Затем получите инструктаж по выполнению домашнего задания и подведем итоги урока. Согласны с таким планом работы? Хорошо! Итак, приступаем.

1.2. Устная работа.

Задачи этапа: актуализировать знания и умения учащихся, которые будут использованы на уроке.

Содержание этапа:

Учитель: Первое задание для устной работы — решите уравнения:

(Слайд 2)

Учитель: Второе задание – используя основные формулы тригонометрии, упростите выражение:

(Слайд 3)

2. Основная часть урока.

2.1. Повторение (чередование фронтальной и индивидуальной форм работы с последующей проверкой задания).

Задачи этапа:обеспечивать развитие у учащихся общеучебных умений и навыков: умение анализировать, синтезировать, сравнивать, обобщать, поиск способов решения,отрабатыватьнавыки самооценивания знаний и умений, выбора разноуровневого задания.

Содержание этапа:

Учитель: Ребята, давайте вспомним свойства четности и нечетности тригонометрических функций, значения тригонометрических функций для различных углов поворота, применение формул приведения

Учащиеся формулируют свойства четности и нечетности, правило применения формул приведения, называют значения тригонометрических функций для различных углов поворота.

Учитель: А теперь выполним самостоятельную работу. Работа предлагается в 2 вариантах, после чего проверим правильность ее выполнения.

Найдите значения тригонометрических выражений:.

(Слайд 4)

Учитель: Ребята, проверьте ответы и оцените свои работы согласно шкале:

количество верных ответов

оценка

< 4

(Слайд 5)

Учитель: А теперь вспомним определение арксинуса, арккосинуса, арктангенса и арккотангенса.

Учащиеся дают определения обратных тригонометрических функций, обращая внимание на область определения и множество значений.

Учитель: Выполняем следующую работу также самостоятельно.

(Слайд 6)

Учитель: Ребята, проверьте ответы и оцените свои работы согласно шкале:

количество верных ответов

оценка

< 3

(Слайд 7)

Учитель: Ребята, а теперь перейдем к решению простейших тригонометрических уравнений. Напомните, пожалуйста, формулы решения уравнений вида sinx =а, cosx = а,

tg х=а.

(Слайд 8)

Учитель: Рассмотрим основные методы решения тригонометрических уравнений.

А) Решение тригонометрических уравнений по известным алгоритмам.

а) тригонометрические уравнения, приводимые к линейным или квадратным:

Asin2 х + В sin х + С =0 или

Asin2 х + В cos х + С =0

Решим уравнение:

sin2 х + 5 sin х — 6 =0.

Учащиеся решают уравнение, вводят замену sin х = z, решая квадратное уравнение

z2 + 5 z — 6 = 0, находят z1 = 1; z2 = -6

Решением уравнения sin х = 1 являются числа вида х = π/2 +2 πk, kZ.

Уравнение sin х = — 6 не имеет решения, так как -6 не принадлежит Е ( sin х ),

т.е. -6 не принадлежит [-1;1]

Учитель: При решении уравнения вида Asin2 х + В cos х + С =0 вводим замену sin2 х = 1 — cos2 х, а затем решаем уравнение способом, аналогичным предыдущему.

Решите уравнение 2 sin2 х + 3 cos х -3 =0.

Учащиеся решают уравнение, вводят замену sin2 х = 1 — cos2 х, получили

2 (1 — cos2 х) +3 cos х -3 =0.

— 2 cos2 х + 3 cos х — 1 = 0 | (-1)

2 cos2 х — 3 cos х + 1 = 0

Замена cos х= t

Решая квадратное уравнение 2 t2 — 3t+1 = 0,

находят t1 = 1; t2 = 0,5

Решением уравнения cos х = 1 являются числа вида х = 2 πk, k

Решением уравнение cos х = 0,5 являются числа вида х = ± arccos0,5+ 2πn, n

Учитель: А теперь выберите одно из предложенных уравнений и самостоятельно решите его.

(Слайд 9)

Учитель: Ребята, проверьте свое решение с ответами

Учитель: Продолжим вспоминать основные методы решения тригонометрических уравнений.

б) однородные тригонометрические уравнения.

Рассмотрим самое простое однородное тригонометрическое уравнение первой степени: Asinx+ Bcosx = 0. Разделив обе части уравнения на cosx≠ 0, имеем уравнение вида tgx = С.

Решите уравнение 2 sinx+ 3 cosx = 0.

Учащиеся решают уравнение.

2 sinx+ 3 cosx = 0 | : cosx≠ 0

2 tgx + 3 =0

tgx = -1,5

х= arctg (-1,5) + πk, k

Z или х = — arctg 1,5 + πk, k

Учитель: Теперь рассмотрим однородное тригонометрическое уравнение второго порядка: А sin2 х + В sinх cos х + С cos2х = 0. Разделив обе части уравнения на cos2 x ≠ 0, получим уравнение вида А tg2x + В tgx + С = 0. Такого вида уравнения мы уже рассматривали.

Решите уравнение 2 sin2 х — 3 sinх cos х — 5 cos2х =0

Учащиеся решают уравнение 2 sin2 х — 3 sinх cos х — 5 cos2х =0

2 sin2 х — 3 sinх cos х — 5 cos2х =0 | : cos2х ≠ 0

2 tg2x — 3 tgx — 5 = 0

замена tgx = t

2 t2 – 3 t – 5 =0

t1 = -1; t2 = 2,5

Решением уравнения tg х = -1 являются числа вида х = -π/2 + πk , k

Решением уравнение tg х = 2,5 являются числа вида х = arctg 2,5+ πn, n

Учитель: К однородным уравнениям после применения формул тригонометрии могут быть сведены различные тригонометрические уравнения, которые первоначально не были однородными.

Рассмотрим уравнение: А sin2 х + В sinх cos х + С cos2х = D, преобразуем данное уравнение А sin2 х + В sinх cos х + С cos2х =D (sin2 х + cos2х)

или (А –D) sin2 х + В sinх cos х + (С-D) cos2х =0.

Уравнение Asinx+ Bcosx = С также не является однородным. Но после выполнения ряда преобразований данное уравнение становится однородным уравнение второго порядка:

A sin x+ B cos x = С

A sin 2 (x/2) + B cos 2(x/2) = С

2 A sin(x/2) cos(x/2) + В(cos2(x/2) — sin2(x/2) )= С(sin2(x/2) + cos2(x/2)). А теперь выберите два уравнения и самостоятельно решите их.

(Слайд 10)

Учитель: Ребята, проверьте свое решение с ответами.

(Слайд 11)

Учитель: Продолжим рассмотрение основных методов решения тригонометрических уравнений.

Б) различные алгоритмы решения уравнений видаAsinx+ Bcosx = С

(Слайд 12)

1) переход к половинному аргументу мы рассмотрели ранее.

2) использование универсальной подстановки

2 tgx/2 1 — tg2 x/2

sinх= ——————- , cos х= ————————

1 + tg2 x/2 1 + tg2 x/2

3) введение вспомогательного угла

Asinx+ Bcosx = С | : √A2 + B2 ≠ 0

A sin x + В cos x = С .

√A2 + B2 √A2 + B2 √A2 + B2

Если A = cos β, то A = sin β, получим

√A2 + B2 √A2 + B2

cos β · sin x + sin β · cos x = С , откуда sin (x + β) = С или

√A2 + B2 √A2 + B2

x = (-1)k arcsin С — β + πk, k

√A2 + B2

А теперь попробуйте решить уравнение √3 sinx + cosx = 1 одним из предложенных способов.

Учащиеся решают уравнение, консультируются у учителя в случае возникновения затруднений.

Учитель: А теперь сверьте свои ответы с ответами соседа. Сверили. Молодцы! А сейчас выполним самостоятельную работу следующего характера. Решите тригонометрическое уравнение видаAsinx+ Bcosx = С рассмотренными способами.

(Слайд 13)

2.2. Знакомство с новыми способами решения тригонометрических уравнений.

Задачи этапа: организовать деятельность учащихся по применению знаний, умений и навыков при решении тригонометрических уравнений незнакомыми способами.

Содержание этапа:

Учитель: А сейчас познакомимся с решением тригонометрических уравнений новыми способами:

А) введением нетрадиционной замены при решении симметричных тригонометрических уравнений

Введем понятие симметричного уравнения

Пусть R (х; у) – выражение, которое рационально зависит от х и у. Такое выражение называют симметричным, если R (х; у) = R (у; х).

Рассмотрим уравнение 4 sinх — 6 sinх cos х + 4 cosх + 1 = 0 ,

т.к. (sin x + cos x)2 = 1 + 2 sin x cos x, то sinx ·cos x = (sin x + cos x)2 — 1 , получим

4 sinх + 4 cosх- 6 (sin x + cos x)2 — 1 + 1 = 0 ,

4 sinх + 4 cosх — 3 ( (sin x + cos x)2 – 1) + 1 = 0 ,

Введем обозначение t = sinx + cosx, получим

4 t – 3 (t2 -1) + 1 = 0

– 3 t2 + 4 t + 4 = 0

3 t2 — 4 t — 4 = 0 .

Решая квадратное уравнение, найдем t1 = 2, t2 = -2/3, после чего переходим к решению уравнений sinх + cosх = 2 и sinх + cosх = -2/3

Б) методом разложения на множители.

Вспомним использование данного метода при решении известного вида уравнений:

sinх + sin3 х + sin5 х = 0

сгруппируем слагаемые:

(sinх + sin5 х) + sin3 х = 0

2 sin 3х cos 2х + sin 3х = 0

sin 3х ( 2 cos 2х + 1 ) = 0

переходим к решению простейших тригонометрических уравнений:

sin 3х = 0 или 2 cos 2х + 1 = 0

cos 2х = — 1/2

Рассмотрим более сложное уравнение, решаемое методом разложения на множители:

4 sin3 х + 3 sin х — 7 = 0.

Легко можно заметить, что 4 + 3 = 7 или 4 ·13 + 3 · 1 — 7 = 0.

Выполним преобразование

4 sin3 х + 3 sin х — 7 – (4 · 13 + 3 · 1 — 7 ) = 0

или 4 ( sin3 х — 1 ) + 3 ( sin х — 1 ) = 0 .

Разложим на множители: 4 ( sin х — 1 ) ( sin2 х + sin х +1 ) + 3 ( sin х — 1 ) =0

( sin х — 1 ) ( 4 ( sin2 х + sin х + 1) + 3 ) = 0

( sinх — 1 ) ( 4 sin2 х + 4 sin х + 4 + 3 ) = 0

( sin х — 1 ) ( 4 sin2 х + 4 sin х + 7 ) = 0, откуда

sin х — 1 = 0 или 4 sin2 х +4 sin х + 7 = 0

х = π/2 + 2пk, k

Z решений нет

В) методом оценки левой и правой частей.

Рассмотрим уравнение sinx/4 + 2 cos (x- 2 π)/3 = 3

Вспомним, что – 1 ≤ sin ≤ 1

– 2 ≤ 2 cos (x-2 π)/3 ≤ 2

————————————

– 3 ≤ sinx/4 + 2 cos(x-2 π)/3 ≤ 3.

Исходное уравнение будет иметь решение тогда и только тогда, когда одновременно выполняются равенства:

sinx/4 = 1 и 2 cos (x-2 π)/3 = 2 или

sin x/4 = 1

cos (x-2 π)/3 = 1 .

Решая уравнение sinx/4 = 1 , получим х = 2 π+ 8πn, n

Решая уравнение cos (x-2 π)/3 = 1 , имеем (x-2 π)/3 = (2 π+ 8πn — 2 π)/3. Или (x-2 π)/3 = 8πn /3. Итак, cos 8πn /3 = 1.

Это возможно только в тех случаях, когда, n делится нацело на 3, т.е. n = 3 k, k

Значит, решением исходного уравнения являются числа вида х = 2 п + 24 п k, k

3. Рефлексивно-оценочная часть урока.

3.1. Обсуждение результатов индивидуальной работы.

Задачи этапа: дать качественную оценку работы каждого ученика по выполнению самостоятельной работы.

Содержание этапа:

Учитель: А теперьвы оцените свою работу на уроке. Вы самостоятельно выполнили 5 упражнений:

1 – находили значения тригонометрических функций;

2 – находили значения обратных тригонометрических функций;

3 – решение уравнений по известным алгоритмам;

4 – решение однородных тригонометрических уравнений;

5 – решение уравнений вида asinx+bcosx = c

Найдите среднее арифметическое всех выставленных оценок, округлите результат, и эти оценки я вам выставляю в журнал.

3.2. Информация о домашнем задании.

Задачи этапа: сообщить учащимся о домашнем задании, обеспечить понимание цели, содержания и способов решения.

Содержание этапа:

Учитель: Для закрепления навыков решения тригонометрических уравнений новыми способами я предлагаю вам выполнить домашнее задание следующего содержания:

1. Введением нетрадиционной замены решите симметричное тригонометрическое уравнение cos6х + sin6 х = 16 sin2 х cos2х ;

2. Выражение sin3 х + 3 sin х — 4 разложить на множители различными способами;

3. Методом разложения на множители решите тригонометрическое уравнение

sin3 х + 3 sin х — 4 = 0

4. Методом оценки левой и правой частей решите тригонометрическое уравнение

2 ( сosх + sin х ) + sin 2 х + 1 = 0

3.3. Подведение итогов урока.

Задачи этапа: вспомнить основные моменты урока, проанализировать усвоение предложенного материала и умение применить полученные знания в дальнейшем

Содержание этапа:

Учитель: Подведем итоги урока. Сегодня на уроке мы вспомнили числовые значения тригонометрических функций, обратных тригонометрических функций, вспомнили формулы решения простейших тригонометрических уравнений, рассмотрели общие подходы решения тригонометрических уравнений, закрепили навыки и проверили умения решать тригонометрические уравнения, познакомились с новыми способами решения некоторых известных тригонометрических уравнений.

Я думаю, что у вас сложилось более полное представление о тригонометрических уравнениях и разнообразии способов их решения. И у меня появилась уверенность, что с решением тригонометрических уравнений большинство из вас справится.

Фронтальным опросом вместе с учащимися подводятся итоги урока:

— Что нового узнали на уроке?

— Испытывали ли вы затруднения при выполнении самостоятельной работы?

— Испытывали ли вы затруднения при выборе самостоятельной работы?

— Какие из способов решения тригонометрических уравнений из рассмотренных оказались наиболее трудными?

— Какие пробелы в знаниях выявились на уроке?

— Какие проблемы у вас возникли по окончании урока?

Учитель: Дорогое ребята! Спасибо вам за работу на уроке. Я благодарю всех, кто принял активное участие в работе. Благодарю вас за помощь в проведении урока. Надеюсь на дальнейшее сотрудничество. Урок окончен. До свидания

Самоанализ

В ходе урока по теме «Общие методы решения тригонометрических уравнений» достигнуты все поставленные цели. Класс, в котором проводился данный урок был «средним» по алгебре. Учащиеся активно работали на уроке, старались четко отвечать на поставленные вопросы.

Предложенные уровневые задания способствовали выработке навыков самооценивания, а так же выбора задания, соответствующего их уровню развития.

Повторение решения линейных и квадратных уравнений, а также уравнений, сводимых к квадратным, формулы решения простейших тригонометрических уравнений и значения тригонометрических и обратных тригонометрических функций способствовало развитию у учащихся мыслительных операций: умению анализировать, сравнивать.

Устные задания способствовали развитию математической речи учащихся, развитию логики.

Использование презентации помогло до минимума сократить время на переход от одной формы работы к другой, способствовало выработке внимания, максимальной работоспособности.

За обозначенное время (2 урока) были рассмотрены все предложенные задания.

Список литература: