Автор конспекта:
Автор(ы): — Зяблицева Е.М.

Место работы, должность: — ГОУ СПО «Вольский педагогический колледж им. Ф.И. Панферова», преподаватель

Регион: — Саратовская область

Характеристики урока (занятия) Уровень образования: — среднее (полное) общее образование

Целевая аудитория: — Учащийся (студент)

Класс(ы): — 11 класс

Предмет(ы): — Алгебра

Цель урока: — Ввести понятие приращения аргумента, приращения функции. Дать определение производной. Рассмотреть физический и геометрический смысл производной, правила и формулы вычисления производных некоторых функций

Тип урока: — Урок изучения и первичного закрепления новых знаний

Учащихся в классе (аудитории): — 25

Используемые учебники и учебные пособия: — Учебник, таблицы, раздаточный дидактический материал

Используемая методическая литература: — журнал «Математика в школе»

Используемое оборудование: — ПК, проектор

Краткое описание: — «Открытие исчисления бесконечно малых дало математикам возможность свести законы движения тел к аналитическим уравнениям». Ж. Л. Лагранж Дифференциальное исчисление — это раздел анализа математического, связанный главным образом с понятиями производной и дифференциала функции. В дифференциаль¬ном исчислении изучаются правила вычисле¬ния производных (законы дифференцирова¬ния) и применения производных к исследова¬нию свойств функций.

Приращение функции Часто нас интересует не значение какой-либо вели¬чины, а ее изменение. Например, сила упругости пружи¬ны пропорциональна удлинению пружины; работа есть изме¬нение энергии; средняя скорость — это отношение переме¬щения к промежутку времени, за который было соверше¬но это перемещение, и т. д. При сравнении значения функции f в некоторой фикси¬рованной точке х0 со значениями этой функции в различных точках х, лежащих в окрестности х0, удобно выражать раз¬ность f (x) — f (х0) через разность х — х0, пользуясь понятиями «приращение аргумента» и «приращение функции». Объяс¬ним их смысл. Пусть х — произвольная точка, лежащая в некоторой окрестности фиксированной точки х0. Разность х — х0 называ¬ется приращением независимой переменной (или приращением аргумента) в точке х0 и обозначается х. Таким образом, х = х — х0, откуда следует, что х = хо + х. Говорят также, что первоначальное значение аргумента х0 получило приращение х. Вследствие этого значение функ¬ции f (x)изменится на величину f (x) — f (x0) = f(xo + х) — f (x0). Эта разность называется приращением функции f в точке хо, соответствующим приращению х, и обозначается симво¬лом f (читается «дельта эф»), т. е. по определению f = f(xo + х) — f(xo), (1) откуда f (x) = f(x0 + х) = f (х0) + f Обратите внимание: при фиксированном х0 приращение f есть функция от х. f называют также приращением зависимой переменной и обозначают через у для функции y = f(x). Пример 1. Найдем приращения х и f в точке х0, ес¬ли f(x) = x2, х0= 2 и: а) х = 1,9; б) х = 2,1. Рассмотрим график функции y = f(x). Геометрический смысл приращений х и f (приращение f обозначают также у) можно понять, рассмотрев рисунок 80. Прямую l, проходящую через любые две точки графика функции f, называют секущей к графику f. Угловой коэффи¬циент k секущей, проходящей через точки (х0; у0) и (х; у), равен . Его удобно выразить через приращения х и у (рис.): k = tg  = . (Напомним, что угловой коэффициент прямой y = kx + b равен тангенсу угла , который эта прямая образует с осью абсцисс.) С помощью введенных обозначений приращений удобно также выражать среднюю скорость движения за промежуток времени [t0; t0 + t]. Если точка движется по прямой и извест¬на ее координата х (t), то Vср(t) = = . Аналогично выражение называют средней скоростью изменения функции на промежутке с конца¬ми х0 и х0 + х. Производная. Вычисле¬ние углового коэффициента касательной к график функции y = f(x) в точке с абсциссой х0 и нахождение мгновенной скорости тела, брошенного вверх со скоростью v0, имеют различные формули¬ровки. Однако в обоих случаях придерживаются одной схемы. В применении к произвольной функции f и любой точке х0 ее области определения эта схема может быть описана следующим образом. 1) С помощью формулы, задающей функцию f, находим ее приращение в точке xQ: f = f(xo + х) — f(x0) 2) Находим выражение для разностного отношения : которое затем преобразуем — упрощаем, сокращаем на х и т. п. 3) Выясняем, к какому числу стремится , если счи¬тать, что х стремится к нулю. Найденное таким образом число иногда называется (по аналогии с физикой) скоростью изменения функции f в точке х0 ИЛИ (ЧТО более принято) производной функции f в точке х0. Определение. Производной функции f в точ¬ке х0 называется число, к которому стремится разностное отношение при х, стремящемся к нулю. Производная функции f в точке х0 обозначается f (x0) (читается: «Эф штрих от х0»). Пример 1. Найдем производную функции f (х) = х3 в точке х0. Будем действовать по описанной выше схеме. Операция нахождения производной функ¬ции называется дифференцированием. С физи¬ческой точки зрения, как мы теперь пони¬маем, дифференцирование — это определение скорости изменения переменной величины. Таким образом, если функция дифференци¬руема в точке х, то в этой точке существует производная f'(x). Обратно, если существует производная f'(x) в точке х, то в этой точке функция f(x) дифференцируема. Функция имеет дифференциал df= k(x)h в том, и только в том, случае, когда она имеет производную f'(x), причем df=f'(x) h. Но дифференциал как линейная по h функция k(x)h вполне определяется коэффициентом k(x)=f'{x), по¬этому отыскание дифференциала функции вполне равносильно отысканию ее производ¬ной. Вот почему обе эти операции часто назы¬вают одним термином — «дифференцирова¬ние», а исчисление называют дифферен¬циальным. «Лишь дифференциальное исчисление дает естествозна¬нию возможность изображать математически не только состоя¬ния, но и процессы: движение» Ф. Энгельс
Файлы: Раздаточный материал по производной.zip
Размер файла: 25005 байт.