Автор конспекта:
Автор(ы): — Гарипова Суюмбика Искандеровна

Место работы, должность: — РТ,Буинский район , Нижне-Наратбашская СОШ

Регион: — Республика Татарстан

Характеристики урока (занятия) Уровень образования: — основное общее образование

Целевая аудитория: — Учитель (преподаватель)

Класс(ы): — 8 класс

Предмет(ы): — Геометрия

Цель урока: — изучение теоремы Пифагора — Объяснить ученикам различные доказательства теоремы Пифагора; — учить решать задачи с помощью теоремы Пифагора; — развивать логическое мышление, кругозор, математическую речь, интерес к математике; — воспитывать усидчивость

Тип урока: — Урок изучения и первичного закрепления новых знаний

Учащихся в классе (аудитории): — 12

Используемые учебники и учебные пособия: —

Атанасян

Используемое оборудование: —

Компьютер, проектор

Краткое описание: — Теорема Пифагора заслужила место в «Книге рекордов Гиннеса» как получившая наибольшее число доказательств. Американский автор Э. Лумис в книге «Пифагорово предложение», вышедшей в 1940 г., собрал 370 разных доказательств! Однако принципиально различных идей в этих доказательствах используется не так уж много. Доказательство: Рассмотрим прямоугольный треугольник с катетами а, b и гипотенузой с И докажем, что Достроим треугольник до квадрата со стороной так, как показано на рисунке. Площадь этого квадрата равна . Но также его площадь равна сумме площадей 4 треугольников и квадрата со стороной с. Т.е. . Т.о. , раскрываем скобки — и получаем . Что нам и требовалось доказать.

Конспект урока по геометрии в 8 классе

Тема: «Теорема Пифагора»

Задачи: — Объяснить ученикам различные доказательства теоремы Пифагора;

- учить решать задачи с помощью теоремы Пифагора;

- развивать логическое мышление, кругозор, математическую речь, интерес к математике;

- воспитывать усидчивость.

Оборудование: — портрет Пифагора;

- Наглядные пособия;

- Презентация «Теорема Пифагора»;

- Тест для закрепления и/или проверки знаний по теме «Т.П.»;

- ПК, мультимедийный проектор.

Ход урока

1. Организационный момент.

Здравствуйте. Садитесь. Сегодня мы будем изучать знаменитую и важнейшую в геометрии теорему – теорему Пифагора.

С помощью теоремы Пифагора, пользуясь свойствами площадей многоугольников, мы установим соотношение между гипотенузой и катетами прямоугольного треугольника.

Но, для начала, познакомимся с самим Пифагором.

Пифагор (ок. 569– ок. 475 до н.э.)

Родился на острове Самосе в Эгейском море, в семье купца Мнезарха. Путешествуя с отцом, будто бы в возрасте 18–20 лет он посетил старого тогда уже Фалеса (Греческий купец, живший в Милете, греческом полисе; в своих путешествиях по торговым делам посетил Египет, где и познакомился с математикой. Фалес считается вообще первым ученым. Он пытался объяснить мироустройство, дать разумные, логические объяснения явлений, а в математике выдвинул требование доказательства высказанных положений), который и пробудил интерес юноши к математике и астрономии, посоветовал ему поехать для основательного образования в Египет. Пифагор последовал совету. Затем были Вавилон, Индия…

По возвращении на Самос Пифагор основал свою школу, но затем покинул остров. В южноиталийском г. Кротоне им был основан знаменитый пифагорейский союз, бывший одновременно и научной школой, и политическим и религиозным сообществом, в котором Пифагор почитался, чуть ли не божеством…

В школе Пифагора рассматривались четыре mathema (науки): арифметика, музыка (гармония), геометрия и астрономия с астрологией. Пифагорейцы считали, что в основе всего лежат числа и гармония, ими поддерживаемая, но что все в математике нужно доказывать. Изучению математики придавался мистический характер, что не помешало найти доказательство теоремы Пифагора, а из нее получить (доказать!) иррациональность корня из двух! Это были великие математические открытия…

Политическая деятельность пифагорейцев, в конце концов, привела к краху– после 30-летнего существования союза Пифагору с учениками пришлось уехать в г. Тарент, а потом в г. Месапонт. Здесь почти 95-летний Пифагор и погиб в одной из ночных стычек. Так закончилась легендарная жизнь первого математика!..

Теорема Пифагора

Теорема Пифагора утверждает, что в прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов его катетов.

c2=a2+b2

Пожалуй, это самая популярная теорема геометрии, сделавшая Пифагора наиболее знаменитым математиком. Но на самом деле, никаких математических сочинений от Пифагора и его школы– пифагорейцев– не осталось. Более того, само утверждение было открыто задолго до него. О наиболее известном частном случае– треугольнике со сторонами 3, 4, 5 (32+42=52)– говорится в папирусе, который относят приблизительно к 2000г. до н.э. Соотношение между сторонами прямоугольного треугольника обнаруживается и на вавилонских клинописных табличках, и в древнекитайских и древнеиндийских трактатах

Однако в современной истории науки считается, что Пифагор дал ему первое логически стройное доказательство. И отделить эту теорему от имени великого грека уже невозможно.

Запишем формулировку теоремы в тетрадь «в прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов его катетов», и докажем ее.

Доказательства

Теорема Пифагора заслужила место в «Книге рекордов Гиннеса» как получившая наибольшее число доказательств. Американский автор Э. Лумис в книге «Пифагорово предложение», вышедшей в 1940г., собрал 370 разных доказательств! Однако принципиально различных идей в этих доказательствах используется не так уж много.

Доказательство: Рассмотрим прямоугольный треугольник с катетами а, b и гипотенузой с

И докажем, что

Достроим треугольник до квадрата со стороной так, как показано на рисунке.

Площадь этого квадрата равна . Но также его площадь равна сумме площадей 4 треугольников и квадрата со стороной с. Т.е. .

Т.о. , раскрываем скобки — и получаем .

Что нам и требовалось доказать.

Применения подобия

(Слайд №11) Если опустить из вершины прямого угла треугольника высоту на гипотенузу, то он разобьется на два треугольника, подобных исходному по углам. Из этого простого наблюдения тоже можно вывести теорему Пифагора, причем разными способами. В них равенство c2=a2+b2 переписывается в виде некоторого соотношения между соответственными элементами этих треугольников.

Воспользуемся тем, что при (ортогональной) проекции отрезка на прямую его длина умножается на косинус угла между отрезком и прямой. Обозначая через a’ и b’ проекции катетов a и b на гипотенузу и замечая, что сами катеты можно рассматривать как проекции гипотенузы на содержащие их прямые, получаем такие соотношения:

a‘ = a cos B, a = c cos B,

b‘ = b cos A, b = c cos A.

Теперь запишем гипотенузу как сумму проекций катетов:

.

Отсюда сразу и получается пифагорово равенство.

Старинные доказательства опирались на чисто геометрическую формулировку теоремы через площади квадратов. Это и не удивительно, ведь раньше сами формулы записывались на геометрическом языке, например, чтобы обозначить произведение двух величин, говорили о площади прямоугольника, стороны которого равны этим величинам. В некоторых доказательствах малые квадраты разрезались на такие части, из которых складывался большой квадрат.

Например, доказательство Бхаскары, знаменитое своим текстом, точнее, почти полным его отсутствием. Имеется только формула:

Стоит изменить параметры чертежа слева, как тутже изменится чертеж справа.

В других малые и большие квадраты дополнялись равными фигурами до равных же фигур.

Файлы: Конспект урока по геометрии в 8 классе.doc
Размер файла: 109568 байт.