Автор конспекта:
Автор(ы): — Чернявская Елена Александровна
Место работы, должность: —
МОУ СОШ № 4 г. Рассказово, воспитатель математики.
Регион: — Тамбовская район
Характеристика конспекта:
Уровни образования: — дух общее образование
Класс(ы): — 8 категория
Предмет(ы): — Алгебра
Целевая аудитория: — Учащийся (студент)
Целевая аудитория: — Учитель (преподаватель)
Тип ресурса: — нравоучительный материал
Краткое статут ресурса: — Данный нравоучительный материал вдоль теме Решение квадратных уравнений стоит использовать на заключительных уроках подле рассмотрении различных способов решения квадратных уравнений с целью отработки навыков решения ; выработки умения определять образ квадратного уравнения ; выкачивание рационального решения ; аврал с алгоритмом решения квадратного уравнения и многое другое.
Когда уравнение решаешь , дружок,
Ты необходимо найти у него корешок.
Значение буквы проверить несложно,
Поставь в уравнение его осторожно.
Коль верное уравнение выйдет у вас,
То корнем ценность зовите тот час.
Квадратные уравнения – это основа , на котором покоится величественное стекляшка алгебры. Квадратные уравнения находят широкое потребление подле решении тригонометрических, показательных , логарифмических , иррациональных уравнений , неравенств и их систем . Мы все умеем решать квадратные уравнения, начиная С школьной программы 8 класса.
В школьном курсе изучают не полные квадратные уравнения, формулы имя полного квадратного уравнения , с помощью которых можно решать любые квадратные уравнения . Однако имеются и другие способы решения , которые позволяют шибко мимолетно и рационально находить корни уравнения разве доказать точно их нет.
Конечно же ,на своих уровнях воспитатель необходимо познакомить учащихся с этими способами , тем самым облегчая несение многих тем курса математики.
Данный нравоучительный материал вдоль теме «Решение квадратных уравнений» стоит использовать на заключительных уроках подле рассмотрении различных способов решения квадратных уравнений с целью отработки навыков решения ; выработки умения определять образ квадратного уравнения ; выкачивание рационального решения ; аврал с алгоритмом решения квадратного уравнения и многое другое .
Желаю успеха.
Дидактический материал вдоль теме «СПОСОБЫ РЕШЕНИЯ КВАДРАТНЫХ УРАВНЕНИЙ» состоит изо четырёх листов .
Лист 1
Представляет собой таблицу изо 100 квадратных уравнений следующих десяти видов:
- неполные квадратные уравнения
1 ) однако х2 + в х = 0 левую секция подходяще представить в виде
2 ) однако х2 + с = 0 разности квадратов двух выражений
3 ) однако х2 + с = 0
- полные квадратные уравнения , в которых
4 ) однако + в + с = 0
5 ) а – в + с = 0
6 ) левая секция уравнения представима в видеквадрата двучлена.
7 ) приведённое квадратное уравнение
8 ) в = 2k , в = чётное
9 ) в = 2k– 1 , в = нечётное
10 ) Д < 0
Помимо перечисленных уравнений в таблице имеются уравнения , в которых :
а ) аргумент обозначена латинской буквой , отличной от Х ;
б ) записанные не в стандартном виде ;
в ) уравнения , которые дозволяется упростить , разделив левую иправую части на миллион , отличное от нуля.
Лист 2
Представляет собой алгоритм решенияквадратного уравнения , с учётом тех же десяти видов квадратных уравнений , точно и на первом листе. Он предназначен ради работы С средними и сильными учащимися.
I. Опр. Квадратным уравнением , разве уравнением 2йстепени , называется уравнение , содержащее переменную Х в 1й и 2йстепени разве едва только вот 2й степени.
II. Если аргумент Х содержится в уравнении едва только вот 2йстепени , приближенно это уравнение – неполное квадратное.
III. Если аргумент Хсодержится в уравнении и 1йи вот 2й степени , приближенно это уравнение – полное квадратное.
IV. Если показатель подле квадрате переменной равный 1 ,то это уравнение называют приведённым .
Решение квадратных уравнений
ах2 = 0 , ах2 + вх = 0 , ах2 + с = 0
а , в, с действительные числа, ане равно0
Неполные квадратные уравнения
1. ах2 + вх = 0
х ( ахти + в ) = 0
х = 0 разве ахти + в = 0
ахти = — в
х = - в/а
2. ах2 + с = 0
ах2 = — с
х2 = -с/а
х 1,2 = = — с/а
3. Данное уравнение дозволяется решить другим способом. Если левую секция удобно представить в виде разности квадратов двух выражений , приближенно её раскладывают на множители 1йстепени с помощью формулы сокращённого умножения
а2 – в2 = ( однако – в ) ( однако + в ).
ах2 + вх + с = 0 х2 + рх + q= 0
однако , в, с, р, q — любые действительныечисла ,отличные от 0
Полные квадратные уравнения
Рассмотрим некоторые свойства коэффициентов квадратного уравнения.
4. Если однако + в + с = 0 , то х1= 1 , х2= с/а
5. Если однако – в + с = 0 , то х1=- 1 , х2= — с/а
6. Если левая секция полного квадратного уравнения представима в виде квадрата двучлена , приближенно его рациональнее решить, применяя формулы сокращённого умножения :
а2 - 2ав + в2 = ( однако – в )2 клетка разности двух выражений
а2 +2ав + в2 = ( однако + в )2 клетка суммы двух выражений
Зависимость посерединке коэффициентами и корнями приведённого квадратного уравнения.
7. Для квадратного уравнения х2 + рх + q=0 , где р , q действительные числа
х1 + х2 = — р
х1 х х2 = q
справедлива лемма Виeта
8. Уравнение вида ах2 + вх + с = 0, где а,в,с действительные числа, однако не одинаково 0
с чётным коэффициентом в решается вдоль формуле Д1 =( в2)2 – ас
Пусть в = 2 R, т. е уравнение имеет образ ах2 +2Rх + с = 0 . Находим его корни
х 1,2 =- k=аk- ас
9. При решении уравнения вида ах2 + вх + с = 0 с нечётным вторым коэффициентом находят Д = в2 – 4 ас.
Пусть в = 2 k- 1, тогда корни уравнения х 1,2 =- в =2ав — 4ас
10. Величина Д = в2 – 4 ас, играющая решающую цена подле вопросе о корнях квадратного уравнения , называется дискриминантом квадратного уравнения .
Если Д > 0 , приближенно квадратное уравнение имеет неудовлетворительно вещественных , различных корня .
Если Д = 0 , приближенно получается одну намерение . В этом случае говорят , точно корень двойной разве точно корни равны.
Если Д< 0 , приближенно вещественных решений не существует. (это тихе комплексных имя разве мнимых корней).
Лист 3.
Представляет собой алгоритм решения квадратного уравнения на конкретном примере уравнения с полным его решением к каждому изо десяти представленных видов. Этот транспарант предназначен ради работы С слабыми учащимися.
1. ах2 + вх = 0 Выносим Х за скобки.
х ( ахти + в ) = 0
х = 0 или ахти + в = 0
ахти = — в
х = -в/а
пример: 2х2 – 7х = 0
х ( 2х – 7 ) = 0
х = 0 или 2х – 7 = 0
2х =7
х = 7 : 2
х =3,5
Ответ: 0 ; 3,5
2. ах2 + с = 0
ах2 = — с
х2 = — с/а
пример: 6х2 +18 = 0 6х2 -18 = 0
6х2 = -18 6х2 = 18
х2 = -3 х2 = 3
корней избавьте х1 =V3 , х2 =-V3.
Ответ: нет имя Ответ: х1 =V3 , х2 =-V3.
3. ах2 + с = 0 Иногда данное неполное квадратное
уравнение подходяще решить, представив левую
левую секция в виде разности квадратов двух
выражений и применяя формулу С У.
ПРИМЕР:
9х2 – 4 = 0
( 3х – 2 )( 3х + 2 ) = 0
3х – 2 = 0 разве 3х + 2 = 0
3х =2 3х =-2
х = 2/3 х = -2/3
ОТВЕТ: - 2/3 ; 2/3.
4. ах2 + вх + с = 0. Полное квадратное уравнение дозволяется решить
Если а + в + с =0,тобыстро и точно , предвидя свойства коэффи-
х1 = 1 , х2 =с/ациентов квадратного уравнения.
ПРИМЕР: 15х2 – 19х + 4 = 0
приближенно как 15 – 19 + 4 = 0 ,
то х1 = 1 , х2 =4/15
ОТВЕТ: 1; 4/15 .
5. ах2 + вх + с = 0.
Если а — в + с =0, ( или однако + с = в )
приближенно х1 =- 1 , х2 =-с/а
ПРИМЕР: 11х2 + 27х + 16 = 0
так как 11 – 27 + 16 = 0
то х1 = — 1 , х2 =- 15/11
ОТВЕТ: -1; -15/11 .
6. ах2 + вх + с = 0. Иногда шутя заметить , точно левая часть
уравнения представляет собой квадрат
ПРИМЕР: 4х2 — 12х + 9 = 0 разности разве клетка суммы двух выра-
( 2х – 3 )2 = 0 жений. Такое уравнение решают , пред-
2х – 3 = 0 ставив левую секция в виде квадрата дву-
2х = 3 члена. В таких случаях , иной раз квадратное
х = 1,5 уравнение довольно удовлетворяться только
ОТВЕТ: 1,5одним значением неизвестного , мы будем
говорить,что оно допускает неудовлетворительно равных корня.
х2 + 24х + 144 = 0
( х + 12 )2 = 0
х + 12 = 0
х = — 12
ОТВЕТ:- 12.
7.Рассмотрим приведённое квадратное уравнение
х2 + рх + q= 0, где-нибудь р и q– любые числа отличные от нуля.
Корни данного уравнения удовлетворяют
теореме Виета, которая имеет вид
х1 хх2 = q
х1 +х2 = — р.
Если естественный членqприведённого квадратного уравнения положителен ( q> 0 ) , то уравнение имеет неудовлетворительно одинаковых вдоль знаку корня и это зависит от второго коэффициента р.Если р > 0 , то пара корня отрицательны , если р 0 — отрицателен.
х2 – 2х — 15 = 0 х2 + 2х — 8 = 0
х1 хх2 = -15 тогда х1 хх2 = — 8 тогда
х1 +х2 = 2 х1 +х2 = -2
х1= 5 , х2 =-3 х1=-4 , х2 =2
ОТВЕТ : 5 ; -3 . ОТВЕТ : — 4 ; 2.
При подборе имя приведённого квадратного уравнения дозволяется пользоваться следующей таблицей ради распознавания знаковкорней
ЗНАКИ КОЭФФИЦИЕНТОВ
ЗНАКИ КОРНЕЙ
p> 0
q > 0
Одинаковые :
оба отрицательные
p < 0
q > 0
Одинаковые :
оба положительные
p > 0
q < 0
Разные :
Больший вдоль модулю
отрицательный
p < 0
q < 0
Разные :
Больший вдоль модулю
положительный
8. ах2 + вх + с = 0 Самый распространённый манер решения
полного квадратного уравнения – вдоль формуле
3х2 – 14х — 49 = 0 имя квадратного уравнения .
Так что в = — 14– чётное, приближенно Таких формул две . В тех случаях , иной раз
Д1 =( в/2 )2- летчик второй показатель в – чётный формула
Д1 =72 — 3 х( — 49 )корней имеет вид:Д1 = (в/2 )2 – ас
Д1 = 196
х1= 7 , х2 = -21/3
9. ах2 + вх + с = 0. Формула имя квадратного уравнения
2х2 – 5х + 2 = 0
а = 2 , в = -5 , с = 2позволяет решить любое квадратное
Д = в2 -4 ас уравнение. Выражение в2 – 4ас = Д
называют дискриминантом квадратного уравнения.
Д = 25 — 4х2 х2
Д = 9
х1= 2 х2= 0,5
ОТВЕТ: х1= 2 , х2= 0,5.
10. Применяя формулу имя квадратного уравнения , дозволяется получить Д < 0 (Д