Автор конспекта:
Автор(ы): — Дужан Лариса Александровна

Место работы, должность: — ТМК ОУ «Усть-Портовская СОШ-И», учитель математики

Регион: — Красноярский край

Характеристики урока (занятия) Уровень образования: — основное общее образование

Целевая аудитория: — Учащийся (студент)

Класс(ы): — 9 класс

Предмет(ы): — Алгебра

Цель урока: —

а) познакомить учащихся с понятием геометрической прогрессии, вывод формул n-го члена геометрической прогрессии и суммы п-ервых членов геометрической прогрессии;

б) развивать навыки самоконтроля, логического мышления, учить обосновывать свои действия.

Тип урока: — Урок изучения и первичного закрепления новых знаний

Краткое описание: — I. Устный опрос. II.Объяснение нового материала.III.Закрепление изученного. IV.Подведение итогов.

Ход урока.

I. Устный опрос.

По мере ответов на вопросы заполняется половина таблицы, вторая заполняется в процессе урока.

  • Какая последовательность называется арифметической прогрессией?
  • Как найти разность арифметической прогрессии?
  • Какому условию удовлетворяет разность арифметической прогрессии, если
    эта прогрессия является возрастающей? постоянной? убывающей? Запишите
    формулу n-го члена арифметической прогрессии.
  • Сформулируйте характеристическое свойство членов арифметической
    прогрессии.
  • Запишите формулу суммы и первых членов арифметической прогрессии.
  • Арифметическая прогрессия

    ческая прогрессия

    Геометрическая прогрессия

    (аn): а1,а2, а3 … , аn

    (bn): b1, Ь2,Ь3 … bn

    an+1 = an + d

    bn+1 = bn • q(b1≠0, q≠0)

    d = an+1-an

    q = bn+1 / bn

    a n = a1+ d(n-1)

    bn = b1 • qn-1

    an

    b2n = bn+1 • bn-1

    II.Объяснение нового материала.

    а) Выпишите последовательности соответствующие условию задач:

    1) Имеется радиоактивное вещество массой 256 г, вес которого за сутки уменьшается вдвое. Какова станет масса вещества на вторые сутки? на третьи сутки?

    256; 128; 64; 32 …

    Как получается второй член последовательности? (Деление предыдущего на 2 или умножением на ½).

    В

    2) В △ABCпроведем среднюю линию A1C1.

    В △A1BC1провели среднюю линию А2С2.

    В △А2ВС2 провели среднюю линию А3С3.

    Найти площадь △А3ВС3, если площадь △ABC=

    768 см2.

    (Делением предыдущего члена на 4 или умножением на¼)

    3) Срочный вклад, положенный в сберегательный банк, ежегодно увеличивается на 5%. Каким станет вклад через 4 года, если вначале был 1000руб.?

    1000; 1050; 1102,5; 1157…

    (Умножением предыдущего на 1,05)

    4) Бактерия за 1 сек. делится на 3. Сколько бактерий будет в пробирке через 5 сек.?

    1; 3; 9; 27; 81 …

    (Умножением предыдущего на 3)

    Выписанные последовательности называются геометрической прогрессией. Каким образом образовались члены данных последовательностей? Попробуйте дать определение геометрической прогрессии.

    б) bn+1= bn• q, где q- некоторое число,

    q- называется знаменателем геометрической прогрессии.

    Как найти знаменатель геометрической прогрессии?

    q= bn+1/bn

    Контрольные вопросы:

    Найти знаменатель геометрической прогрессии:
    а) 512; 256; 128; 64 … (q= 1/2)

    б)Ö3; 3; ЗÖ3; 9; 9Ö3 (q= Ö3)

    в) 5; -5; 5; -5 … (q= -l)

    г) -2; -6; -18; -54 … (q= 3)

    д)1/3; 1/9; 1/24; 1/72 … ( q= 1/3 )

    е) 2; 2; 2; 2 … (q=l)

    Какие могут быть геометрические прогрессии.

    в) По аналогии с арифметической прогрессией вывести формулу п-го члена для геометрической прогрессии.

    b1, b2, b3 … b2= b1×q b3=b2×q= b1×q2b4=b3×q= b1×q3 …

    Вывод: bn=b1×qn-1

    Контрольные вопросы:

    bn- геометрическая прогрессия b1- 3 , q= 2

    Найти b3, b4, bk

    b3=b1×q2=-3×22=-12

    b4= b1×q3= -3 -23=-24

    bk = b1×qk-1 = -3×2k-1

    b1 = -5, q = 2 b3=1 , b4= 0,5

    b2 = -10

    b3=-20 q=b3/b4= 0,5/1 =0,5

    b4=-40 b3=b1×q2

    b5=-80 b1=b3/q2= 1/0,25 = 4

    b6=-160 4; 2; 1; 0,5;

    г) Почему геометрическая прогрессия получила такое название? Сделайте предположение по аналогии с арифметической прогрессией.

    Найдите среднее геометрическое чисел
    4 и 9

    = 6

    4; 6; 9 …

    Проверьте, образует ли данная тройка геометрическую прогрессию?

    (Да; 6/4 = 3/2; 9/6 =3/2)…

    Вывод: Любой член геометрической прогрессии начинается со второго, является средним геометрическим последующего и предыдущего.

    Докажите это bn=bn+1• bn-1

    по определению геометрической прогрессии.

    b2n=bn+1• bn-1

    Сформулируйте обратное утверждение (попробуйте доказать дома).

    д) В старинной книге по арифметике Магницкого приведена следующая забавная задача.

    Некто продал лошадь за 156 р. Но покупатель, покупая лошадь, раздумал ее покупать и возвратил продавцу. Продавец предложил другие условия: Если, по-твоему, цена лошади высока, то купи только ее подковные гвозди, лошадь же тогда получишь в придачу бесплатно. Гвоздей в каждой подкове 6. За первый гвоздь дай мне всего ¼коп., за второй½коп, за третий 1 коп. и т.д. Покупатель соблазнился на такие условия. На сколько покупатель проторговался? Составить последовательность:

    ¼, ½, 1,2,22…221

    Попробуем вывести формулу сумму nпервых членов геометрической прогрессии.

    Пусть: Sn= b1+ b1q+ b1q2+ … b1qnn-1 (1)

    Sn ×q = b1q + b1q2 + b1q3 + … b1qn (2)

    Вычтем из (2) -(1)

    Sn×q-Sn=b1qn –b1

    Sn(q-1) = b1(qn-1)

    Если q-1, то Sn= n×b1, т.к. эта последовательность постоянная.

    Контрольные вопросы:

    a) b1= ¼ q=2, n=24


    Таким образом, покупатель проторговался на огромную сумму.

    б)b1=1, q=2, n=64

    Масса такого количества зёрен больше триллиона тонн.

    Найдите сумму шести первых членов геометрической последовательности:

    а)3; -6; … q=-2 3 ((-2)6-1) 3 (64-1)

    S6= ———.. —- = — ————- = -63

    -2-1 -3

    б)54; 36 … q=2/3 54 ((2/3)6 — 1) 7

    S6= ——————— = -147-

    -2/3-1 9

    в)-32; -16 … q=l/2 -32 ((1/2)6 — 1) 32(-63/64)

    S6= ———.. ———- = ——— ——— = -63

    1/2-1 -1/2

    г)1; -1/2 …

    Подведение итогов урока.

  • Сформулируйте определение геометрической прогрессии. Что называется знаменателем геометрической прогрессии?
  • Запишите формулу n-го члена геометрической прогрессии.
  • Запишите формулу суммы nпервых членов геометрической прогрессии.
  • Домашнее задание.

    №390 (б), №392 (а,б), №396 (б), №400, №410 (а), №414 (а), №416.

    ( план – конспект урока 1 класс 5 класс. 6 класс 7 класс 8 класс 9 класс 10 класс Английский язык Литературное чтение Математика Музыка ОБЖ Окружающий мир Оренбургская область Физика ЦОР алгебра биология викторина внеклассное мероприятие география геометрия здоровье игра информатика история классный час конкурс конспект урока краеведение кроссворд литература начальная школа обществознание презентация программа проект рабочая программа русский язык тест технология урок химия экология