Автор конспекта:
Автор(ы): — Пучкова Н.В.

Место работы, должность: —

МБОУ СОШ №67, учитель математики

Регион: — Хабаровский край

Характеристика конспекта:
Уровни образования: — основное общее образование

Класс(ы): — 11 класс

Предмет(ы): — Алгебра

Целевая аудитория: — Учащийся (студент)
Целевая аудитория: — Учитель (преподаватель)

Тип ресурса: — дидактический материал

Краткое описание ресурса: —

Обобщение приёмов нахождения множеств значений различных функций.

Обобщение различных приёмов нахождения

множеств значений различных функций.

ЦОР, опубликован на сайте www.eorhelp.ru

ссылка на обзор материала: http://www.eorhelp.ru/node/248638

Пучкова Наталья Викторовна,

учитель математики МБОУ СОШ №6

Приём 1.

Нахождение множества значений функции по её графику.

Приём 2.

Нахождение множества значений функции с помощью производной.

Приём 3.

Последовательное нахождение множества значений функций, входящих в данную ком-

позицию функций ( приём пошагового нахождения множества значений функции).

Задание 1.

Найти множество значений функции y = 4 – sinx.

Решение.

Зная, что функция y = sinxпринимает все значения от -1 до 1 , то с помощью свойств

неравенств получаем, что -1sinx1

34 — sinx5.

Значит, функция y = 4 – sinx может принимать все значения не меньше 3 и не больше 5.

Множество значений Е(y) = [3;5].

Ответ: [3;5].

Приём 4.

Выражение xчерез y. Заменяем нахождение множества значений данной функции нахож-

дением области определения функции, обратной к данной.

Задание 2.

Найти множество значений функции .

Решение.

Выразим xчерез y : х2у + 3у = х2 + 2

х2(у – 1) = 2 – 3у.

1 случай: если у – 1 = 0, то уравнение х2 + 3 = х2 + 2 корней не имеет. Получили, что фун-

кция у не принимает значения, равного 1.

2 случай: если у -10, то . Так как , то . Решая это неравенст-

во методом интервалов, получим 0).

Так как функция непрерывна, то она может принимать все значения у. Множество

значений данной функции : Е(y) = [ — 1;).

Ответ : [ — 1;).

Приём 7.

Введение вспомогательного угла для нахождения множества значений некоторых триго-

нометрических функций.

Данный приём применяется для нахождения множества значений некоторых тригоно-

метрических функций. Например, вида y = a·sinx + b·cosx или y = a·sin(px) + b·cos(px),

если а0 и b0.

Задание 5.

Найти множество значений функции y = 15sin 2x + 20cos 2x.

Решение.

Найдём значение . Преобразуем выражение :

15sin 2x + 20cos 2x =25,

где.

Множество значений функции y = sin(2x + ) : -11.

Тогда множество значений функции y = 25sin(2x + ): Е(у) = [ - 25;25].

Ответ: [ - 25;25].

Задание 6.

Найти множество значений функций: а) ; б) у = sin5x – cos5x ;

в) ; г) у = 4х2 + 8х + 10 ; д) ; е).

Решение а).

а) выразим х через у:

6х + 7 = 3у – 10ху

х(6 + 10у) = 3у – 7.

Если 6 + 10у = 0, то у = — 0,6. Подставляя это значение у в последнее уравнение, получим :

0·х = — 8,8. Данное уравнение корней не имеет, значит функция не принимает значения

у = — 0,6.

Если 6 + 10у 0, то . Область определения этого уравнения : R, кроме y = — 0,6.

Получим: Е(у) =.

Ответ: .

Решение б).

б) найдём значение и преобразуем выражение : .

Учитывая множество значений функции , получим : Е(у) =. Функция не-

прерывна, таким образом она будет принимать все значения из этого промежутка.

Ответ: .

Решение в).

в) Учитывая, что , по свойствам неравенств получим :

. Таким образом, Е(у) = .

Ответ : .

Решение г).

г) можно использовать способ, предложенный в приёме 6, а можно выделить полный квадрат:

4х2 + 8х + 10 = ( 2х + 1)2 + 9.

Значения у = ( 2х + 1)2 принадлежат промежутку [0;+), тогда областью значений

у = ( 2х + 1)2 + 9 будет промежуток [9;). В силу непрерывности функция у = 4х2 + 8х + 10

принимает значения из промежутка [9;).

Ответ: [9;).

Решение д).

д) Е(х2) = [0;), значит Е( х2 + 3) = [3;). Так как обратная пропорциональность – непрерыв-

ная и убывающая функция на этом промежутке, то большему значению аргумента соответству-

ет меньшее значение функции. При стремлении аргумента этой функции к , значение са-

мой функции стремится к 0:

Е.

Ответ : .

Решение е).

е) Е(х2) = [0;+), следовательно Е( х2 + 3) = [3;). Так как функция непрерывна и

возрастает на этом промежутке, то Е() = [).

Ответ : [).

Задание 7.

Найдите наименьшее значение функции .

Решение.

Разность принимает наименьшее значение при наибольшем значении вычитаемого.

Дробь принимает наибольшее значение при наименьшем значении знаменателя.

Таким образом, данная функция принимает наименьшее значение принаименьшем зна-

чении выражения , находящегося в знаменателе дроби.

Е() = [0;+)

Е(1+) = [1;+)

Итак, наименьшее значение знаменателя 1, тогда функция принимает наименьшее зна-

чение равное — 1.

Ответ: — 1.

Задание 8.

Найти множество значений функции у = cosxна следующих промежутках :

а) [30º ; 45º], б) [ -45º ; 45º ], в) [ - 180º ; 45º ].

Решение:

а) так как в 1 четверти функция у = cosx непрерывна и убывает, значит, большему аргу-

менту соответствует меньшее значение функции, т.е. , если 30º45º , то функция

принимает все значения из промежутка .

Ответ : Е(у) = .

б) на промежутке [ -45º ; 45º ] функция у = cosx не является монотонной. Рассмотрим

два промежутка: [ -45º ; 0º ] и [ 0º ; 45º ]. На первом из этих промежутков функция

у = cosx непрерывна и возрастает, а на втором – непрерывна и убывает. Получаем, что

множество значений на первом промежутке , на втором .

Ответ: Е(у) = .

в) аналогичными рассуждениями можно воспользоваться и в этом случае. Хотя , сделаем

рациональнее : спроектируем дугу MPN на ось абсцисс.

В силу непрерывности функции получим, что множество значений функции у = cosx

при х[ - 180º ; 45º ] есть промежуток [ - 1;1 ].

Ответ : [ - 1;1 ].

Задания для самостоятельного решения.

Группа А.

Для каждого из заданий этой группы даны 4 варианта ответа. Выберите номер правильного ответа.

1. Найти множество значений функции .

1)[-2;2] 2)[-1;1] 3)() 4)(-2;2)

2. Найти множество значений функции .

1) 2) 3) 4)

3. Найти множество значений функции .

1) [-2;2] 2) 3) 4) [-1;1]

4. Найти множество значений функции .

1) [-1;1] 2) 3) 4) ()

5. Найти множество значений функции у = sinx на отрезке [30º ; 60º].

1) 2) 3) 4) [-1;1]

6. Найти множество значений функции у = sinx на отрезке [30º ; 150º].

1) 2) 3) 4) [-1;1]

7. Найти множество значений функции у = sinx на отрезке [30º ; 180º].

1) 2)[0;1] 3) [-1;1] 4)

8. Найти множество значений функции у = sinx на отрезке [30º ; 360º].

1) 2) 3) [-1;1] 4)

9. Множеством значений функции является промежуток :

1) [1;+) 2) [0;+) 3) [16;+) 4) [8;+)

10. Укажите в какой области функция принимает значения .

1) 2)[-3;2) 3) 4)

11. При каких значениях х функция у = — х2 – 4х + 5 принимает положительные значения ?

1) 2)[0;9] 3)( — 5;1) 4)(0;1)

12. Укажите функцию, убывающую на всей области определения.

1) 2) 3) 4) y = x – 1.

13. Укажите область определения функции .

1) 2)(0;1) 3) 4)

Группа В.

Ответом в заданиях этой группы может быть целое число или число, записанное в виде десятич-

ной дроби.

14. Найти наибольшее целое значение функции у = 3х2 – х + 5 на отрезке [ 1; 2 ].

15. Найти наибольшее целое значение функции у = — 4х2 + 5х – 8 на отрезке [ 2; 3 ].

16. Найти наибольшее целое значение функции у = — х2 + 6х – 1 на отрезке [ 0; 4 ].

17. Укажите наименьшее целое число , входящее в область определения функции

.

18. Укажите, сколько целых чисел содержит область определения функции .

19. Найти длину промежутка, являющегося областью определения функции .

20. Найти наибольшее значение функции .

21. Найти наибольшее значение функции .

22. Найти наибольшее значение функции .

23. Найти наименьшее значение функции .

24. Найти наибольшее значение функции .

25. Сколько целых чисел содержит множество значений функции у = sin2x + sinx ?

26. Найти наименьшее значение функции .

27. Сколько целых чисел содержит множество значений функции ?

28. Найти наибольшее значение функции на промежутке .

29. Найти наибольшее значение функции на промежутке .

30. Какого значения функция не достигает ни при каком значении х ?

31. Найти наибольшее целое значение функции .

32. Найти наименьшее целое значение функции .

33. Найти наибольшее значение функции .

34. Найти наименьшее значение функции .

Группа С.

Решите следующие задания с полным обоснованием решения.

35. Найти множество значений функции .

36. Найти множество значений функции .

37. Найти множество значений функции .

38. Найти множество значений функции .

39. При каких значениях функция у = х2 + (– 2)х + 0,25 не принимает отрицательных зна-

чений ?

40. При каких значениях функция у = ·cosx + sinx — ·sinx будет чётной ?

41. При каких значениях функция у =·cosx + sinx — ·sinx будет нечётной ?

Файлы: Урок.doc
Размер файла: 26624 байт.

( план – конспект урока 1 класс 5 класс. 6 класс 7 класс 8 класс 9 класс 10 класс Английский язык Литературное чтение Математика Музыка ОБЖ Окружающий мир Оренбургская область Физика ЦОР алгебра биология викторина внеклассное мероприятие география геометрия здоровье игра информатика история классный час конкурс конспект урока краеведение кроссворд литература начальная школа обществознание презентация программа проект рабочая программа русский язык тест технология урок химия экология